Gráficos Existenciales como Razonamiento Estructural

JAVIER LEGRIS

CONCEPCION

Congreso; XIV JORNADAS ROLANDO CHUAQUI KETTLUN FILOSOFÍA Y CIENCIAS; 2013

DEPARTAMENTO DE FILOSOFIA Y DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS. UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

De acuerdo con su idea de una ?lógica exacta?, Charles S. Peirce (1839-1914) concibió su sistema de lógica diagramática, los Gráficos Existenciales (GE), como la manera más natural y adecuada de representar la deducción. Así, estos constituían una metodología general para el tratamiento matemático de la lógica sobre la base de nociones topológicas e inauguraban una nueva orientación en la lógica simbólica. Peirce formuló diferentes sistemas de Gráficos Existenciales, correspondientes a lo que hoy se entiende por lógica de enunciados, lógica de predicados, lógica modal y lógica de segundo orden, que han venido siendo estudiados en los últimos años. Este trabajo se propone tender un puente entre los GE y la perspectiva actual del ?Razonamiento Estructural?. Esta perspectiva estudia ?el razonamiento en el estilo de secuentes que usa únicamente reglas estructurales? (véase Schroeder-Heister 2002, p. 246). Las reglas estructurales no se refieren a las composiciones estructurales de las fórmulas por medio de conectivas lógicas o cuantificadores, sino afectan únicamente a la manera en que las fórmulas aparecen en secuentes. Estas ideas tienen su origen en el análisis de la deducción que llevó a cabo Gerhard Gentzen en sus ?Investigaciones sobre la deducción lógica? (véase Gentzen 1935). Más específicamente, en el trabajo se aspira a sugerir que los EG de Peirce pueden ser razonablemente entendidos como una forma de Razonamiento Estructural. En lugar de basarse en sistemas de secuentes los EG emplean diagramas para formular propiedades generales de la deducción y para definir conceptos lógicos. En lugar de emplear recursión y combinatoria, los EG pueden ser estudiados mediante la topología. Esto conduce a ver a los EG como una explicitación de estructuras lógicas. Se da por supuesto que los diagramas admiten un doble emleo: (a) como una manera intuitiva de expresar la naturaleza de la deducción, y (b) como una herramienta matemática para caracterizar las constantes lógicas en diferentes sistemas lógicos. Las principales tesis a defender en el trabajo pueden resumirse como sigue: (1) El contexto de los EG permite una clara correspondencia entre la teoría lógica, que incluye nociones topológicas, y la teoría filosófica, centrada en una concepción icónica de la deducción.  (2) La teoría filosófica lleva a que tanto la deducción como los conceptos lógicos no dependan del lenguaje ordinario. Además, el ?rizo? (scroll) de los EG no será empleado para expresar directamente un condicional, sino para expresar una estructura de implicación. Esta idea es consecuente con la ?ambigüedad productiva? de la representación diagramática. Debido a su naturaleza puramente estructural, los diagramas están abiertos a diversas interpretaciones. Desde el punto de vista del razonamiento estructural, la lógica se organiza a partir de estructuras de implicación. Los operadores lógicos se caracterizan de acuerdo con la manera en que interactúan respecto de la implicación. En el período maduro de su pensamiento, Peirce sostenía que toda la matemática era diagramática, y, tal como afirmaba en el vol. IV de sus New Elements of Mathematics, una demostración matemática se caracterizaba como la construcción de un diagrama. Dado que los diagramas son íconos, una demostración tiene una función icónica respecto de la deducción. En general, una argumentación deductiva consiste en la construcción de un ícono o diagrama, que es manipulado por medio de reglas con el fin de hacer explícita la información que contiene y cuyas relaciones corresponden a las existentes en el ?objeto del pensamiento?. En su trabajo sobre álgebra de la lógica de 1885, Peirce ya defendía esta posición, que implica tanto la visualización de objetos como acciones sobre ellos (Peirce CP 3.363 and CP 5.165). Entre las consecuencias a extraer de aquí cabe mencionar la utilización de nociones topológicas en la metalógica (una ?semántica topológica? o una ?teoría topológica de la demostración?). Ilustraciones de esto se ofrecerán de un modo informal a lo largo del trabajo, discutiendo también resultados de Arnold Oostra (Oostra 2010). Esto servirá para establecer correlaciones con las reglas estructurales en secuentes, de modo de establecer rasgos comunes entre las perspectivas de Peirce y de Gentzen. También se mostrará la viabilidad de combinar sistemas diagramáticos con notaciones unidimensionales. Referencias Gentzen, Gerhard. 1935. "Untersuchungen über das logische Schließen".  Mathematische Zeitschrift 39, pp. 176-210 y 405-431. Oostra, Arnold. 2010. ?Los gráficos Alfa de Peirce aplicados a la lógica intuicionista?. Cuadernos de Sistemática Peirceana  2, pp. 25-60. Peirce, Charles Sanders. CP. Collected Papers. 8 volúmenes, vols. 1- 6 compilados por Charles Hartshorne & Paul Weiss, vols. 7-8 compilados por Arthur W. Burks. Cambridge (Mass.), Harvard University Press, 1931-1958. Peirce, Charles Sanders. NEM. The New Elements of Mathematics by Charles S. Peirce, 4 vols., comp. por Carole Eisele. La Haya, Mouton, 1976. Atlantic Highlands, N. J., 1976. cxxxviii + 2478 pp. Schroeder-Heister, Peter. 2002. ?Resolution and the origins of structural reasoning: Early proof-theoretic ideas of Hertz and Gentzen?. Bulletin of Symbolic Logic 8, pp. 246-265.