Estudio cualitativo y de unicidad de soluciones para una ecuación superlineal de segundo orden

PABLO AMSTER; MARIEL PAULA KUNA

Rosario

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina (UMA); 2013

Unión Matemática Argentina

Estudiamos la siguiente ecuaci\'on\begin{equation} \label{sis1}u''= g(x,u) + A(x),\\\end{equation}para $g: [0,1] \times \mathbb R \to \mathbb R$ continua y superlineal, es decir $$\lim_{ \left|u\right| \rightarrow + \infty} \frac{g(x,u)}{u}= +\infty,$$uniformemente en $x\in [0,1]$.Con condiciones de contorno \begin{equation} \label{borde}u'(0)= a_0 u(0),\; u'(1)= a_1 u(1),\;\;\; \hbox{ con } a_0, a_1 >0.\end{equation}Estas condiciones difieren de cl\'asicas condiciones de Robin, donde $a_0>0>a_1$.\medskipA trav\'es de una formulaci\'on variacional, sabemos que el problema (\ref{sis1})-(\ref{borde}) tiene al menos una soluci\'on para todo $A\in L^2$. Suponiendo, adem\'as, que $g$ es creciente en la segunda coordenada, $\frac{g(x,u)}{u}$ es decreciente en $u$ para $u<0$ y que $g(x,0)=0$ para todo $x\in [0,1]$,presentaremos propiedades cualitativas de las soluciones, y probaremos unicidad de soluci\'on para para $A\in L^2(0,1)$ con $A(x)\ge A_0$ para todo $x$ y $A_0>0$ suficientemente grande.