Algunas subvariedades totalmente geodésicas de la grassmanniana no lineal de un espacio simétrico compacto

MARCOS SALVAI

San Miguel de Tucumán

Congreso; LXI Reunión de la Unión Matemática Argentina; 2011

Sean M y N dos variedades diferenciables conexas. Si M es compacta y orientada y N es riemanniana, entonces el conjunto E de todos los embeddings de M en N es una variedad de Fréchet munida de una métrica riemanniana débil canónica. Sea ¬ la relación de equivalencia en E definida por f ¬ g si y sólo si f = gF para algún difeomorfismo F de M que preserva la orientación. El conjunto S = E/¬ de clases de equivalencias, que puede pensarse como el conjunto de subvariedades de N difeomorfas a M y se llama la grassmanniana no lineal de N de tipo M, es una variedad de Fréchet con una métrica riemanniana débil tal que la proyección E --> S es un fibrado principal con grupo de estructura Diff+ (M) , y una submersión riemanniana. En lo siguiente N es un espacio simétrico compacto y G es la componente conexa de la identidad del grupo de isometrías de N. Suponemos que G es semisimple y que la métrica en N es la inducida por la métrica bi-invariante en G determinada por el opuesto de la forma de Killing. Sea M una subvariedad reflectiva de N y sea C el conjunto de subvariedades de N congruentes a M, que resulta un espacio homogéneo de G. Probamos que la inclusión natural de C en S es totalmente geodésica.