Geodésicas magnéticas de la variedad de rectas orientadas del espacio euclídeo de dimensión tres

YAMILE GODOY; MARCOS SALVAI

Mendoza

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2008

Universidad Nacional de Cuyo

Sea $left( M,J ight) $ una variedad pseudo-riemanniana K"{a}hler (como es usual, consideramos la geometr´{i}a riemanniana como un caso particular de la pseudo-riemanniana). Se dice que una curva $gamma $ en $M$ es una geod% ´{e}sica magn´{e}tica de $M$ si satisface la ecuaci´{o}n $ abla _{gamma ^{prime }}gamma ^{prime }=Jleft( gamma ^{prime } ight) $. Adachi et al. [1] hallaron una expresi´{o}n para tales curvas en espacios sim´{e}% tricos hermitianos compactos. Nosotros, en primer lugar, proveemos una prueba alternativa de la validez de dicha expresi´{o}n, deriv´{a}ndola (en un caso ligeramente m´{a}s general) de las ecuaciones de O´Neill para la derivada covariante en el contexto de submersiones pseudo-riemannianas [3]. En segundo lugar, la aplicamos a la variedad $mathcal{L}$ de las rectas orientadas de $Bbb{R}^{3}$, munida de la estructura pseudo-hermitiana can% ´{o}nica, de signatura (2,2) [2,4]. Notar que una curva en $mathcal{L}$ determina una superficie reglada en $Bbb{R}^{3}$; por ejemplo, es conocido que las geod´{e}sicas de $mathcal{L}$ describen planos o helicoides. Mostramos que la superficie de $Bbb{R}^{3}$ asociada a una geod´{e}sica magn´{e}tica de $mathcal{L}$ es un cono o bien la superficie reglada descripta por el campo binormal de una h´{e}lice en $Bbb{R}^{3}$.