Feedback control for the logistic equation

G.A. GONZÁLEZ; R.HANSEN

Mar del Plata, Prov. de Buenos Aires

Congreso; XV Conference on Nonquilibrium Statistical Mechanics and Nonlinear Physics; 2006

Universiad Nacional de Mar del Plata

Es sabido que en muchas situaciones prácticas es deseable eliminar el comportamiento caótico que surge naturalmente en la dinámica de algún sistema. Resulta de interés cumplimentar este objetivo afectando al sistema sólo mediante pequeñas perturbaciones sobre el parámetro de control. Diversas ideas han sido propuestas en la bibliografía y aplicadas en primera instancia al estudio de un sistema no lineal sencillo como es el mapa logístico clásico: xn+1= λ xn (1−xn)     (1) donde xn está en [0, 1] y λ es el parámetro de control. Se sabe que este mapa es caótico para ciertos valores de λ. Una estrategia conocida para controlar el caos, es el denominado método OGY (debido a Ott, Grebogi y Yorke). La idea se basa en aprovechar una característica fundamental de los atractores caóticos que es la de contener un número infinito de órbitas periódicas inestables. Si se desea estabilizar el sistema en alguna de estas órbitas, debido a la ergodicidad, cualquier trayectoria alcanzará un entorno de una órbita periódica deseada en algún momento y allí se podrá aplicar una pequeña perturbación al sistema, cambiando su estabilidad. Siguiendo esta metodología, Lai [1] propone un control estático cuyo diseño se basa en la linealización del sistema en un entorno de la órbita de interés. La estrategia de control se aplica cuando la trayectoria se encuentra a distancia ε de la órbita deseada, de lo contrario, el sistema vuelve a evolucionar libremente. El valor ε es elegido de modo de asegurar una cota δ pequeña para la perturbación del parámetro de control, sin embargo, debido a la desestimación de los términos no lineales, este método no asegura su convergencia: existe evidencia experimental que muestra en algunos casos, que la trayectoria puede volver al régimen caótico reiteradas veces, oscilando entre la estabilización deseada y el comportamiento caótico. En [2] Liao propone otro método vía un ?feedback control? dinámico para un mapa logístico no cuadrático (asociado a un modelo biológico), y en donde la convergencia del lazo cerrado ha sido probada matemáticamente con rigurosidad. Combinando ambas ideas, en este trabajo proponemos un control para el sistema (1), inspirado en el que introduce Liao pero que salva las deficiencias del propuesto en [1]. [1] Lai, Y., ?Controlling Chaos?, Comput. Phys. 8 (1994) 62?67. [2] Liao, L., Yu, J. and Wang, L., ?Global Attractivity in a Logistic Difference Model with a Feedback Control?, Comput. & Math. with Appl. 44 (2002) 1403?1411.