Capitulo 7: Los Números Complejos

FANARO, MARIA DE LOS ANGELES; CORICA, ANA ROSA; OTERO, MARIA. RITA

Matemática. Tendiendo puentes entre la Escuela y la Universidad. Vol 2

Departamento de Formación Docente de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires

Año: 2004; p. 303 - 330

(Introducción) Como hemos visto en el capítulo “Los Números: de los Naturales a los Reales” del Volumen 1 de este libro, cuando una operación era imposible de realizar en un campo numérico, era necesario ampliarlo, y entonces hemos ido analizando las sucesivas ampliaciones desde los Naturales hasta los Reales. Con la extensión de los números Naturales a los Enteros, se logra que la resta sea siempre posible. En el conjunto de los Racionales siempre es posible la división (excepto por cero), y en R siempre es posible la radicación de radicando positivo. La idea es que en la medida que se amplía el campo numérico, se amplían también las posibilidades de cálculo. Debemos realizar aquí una aclaración: ampliar un conjunto es encontrar un conjunto distinto (con más elementos) que lo contenga. Pero si ampliamos arbitrariamente sin pedir que se respeten ciertas propiedades, el conjunto ampliado puede servir para poco. Por ejemplo, ampliar el conjunto de los números enteros con las letras del alfabeto no sería una ampliación que resuelva ninguno de los problemas que nos ocupa. Ahora planteamos un nuevo problema, que es resolver una ecuación del tipo: radicando positivo. La idea es que en la medida que se amplía el campo numérico, se amplían también las posibilidades de cálculo. Debemos realizar aquí una aclaración: ampliar un conjunto es encontrar un conjunto distinto (con más elementos) que lo contenga. Pero si ampliamos arbitrariamente sin pedir que se respeten ciertas propiedades, el conjunto ampliado puede servir para poco. Por ejemplo, ampliar el conjunto de los números enteros con las letras del alfabeto no sería una ampliación que resuelva ninguno de los problemas que nos ocupa. Ahora planteamos un nuevo problema, que es resolver una ecuación del tipo: R siempre es posible la radicación de radicando positivo. La idea es que en la medida que se amplía el campo numérico, se amplían también las posibilidades de cálculo. Debemos realizar aquí una aclaración: ampliar un conjunto es encontrar un conjunto distinto (con más elementos) que lo contenga. Pero si ampliamos arbitrariamente sin pedir que se respeten ciertas propiedades, el conjunto ampliado puede servir para poco. Por ejemplo, ampliar el conjunto de los números enteros con las letras del alfabeto no sería una ampliación que resuelva ninguno de los problemas que nos ocupa. Ahora planteamos un nuevo problema, que es resolver una ecuación del tipo: x2 + 1= 0 (1)2 + 1= 0 (1) Es decir, x2 = - 1 Como sabemos, esta ecuación generaría dos soluciones: Como sabemos, esta ecuación generaría dos soluciones: 2 = - 1 Como sabemos, esta ecuación generaría dos soluciones: x1 = -1 y x2 = - -1 Pero sabemos que en el campo de los Reales, -1 es imposible de calcular ya que ningún número de este conjunto tiene un cuadrado negativo (por lo tanto decíamos que la radicación no es cerrada en R). Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. ningún número de este conjunto tiene un cuadrado negativo (por lo tanto decíamos que la radicación no es cerrada en R). Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. Pero sabemos que en el campo de los Reales, -1 es imposible de calcular ya que ningún número de este conjunto tiene un cuadrado negativo (por lo tanto decíamos que la radicación no es cerrada en R). Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. ningún número de este conjunto tiene un cuadrado negativo (por lo tanto decíamos que la radicación no es cerrada en R). Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. 1 = -1 y x2 = - -1 Pero sabemos que en el campo de los Reales, -1 es imposible de calcular ya que ningún número de este conjunto tiene un cuadrado negativo (por lo tanto decíamos que la radicación no es cerrada en R). Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. ningún número de este conjunto tiene un cuadrado negativo (por lo tanto decíamos que la radicación no es cerrada en R). Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. -1 es imposible de calcular ya que ningún número de este conjunto tiene un cuadrado negativo (por lo tanto decíamos que la radicación no es cerrada en R). Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada. R). Históricamente éste tipo de problemas se remonta al matemático Diofanto, quien en el siglo III trabajando con problemas geométricos ya advirtió que en cierto sentido el conjunto de los números reales es “incompleto” dado que hay ecuaciones que no tienen solución es este conjunto. Entonces, siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos, tendremos que definir un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación planteada.