Capitulo 5: Ecuaciones de segundo grado y secciones cónicas

OTERO, MARIA. RITA; CORICA, ANA ROSA; FANARO, MARIA DE LOS ANGELES

Matemática. Tendiendo puentes entre la Escuela y la Universidad. Vol 2

Departamento de Formación Docente de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires

Año: 2004; p. 169 - 202

(Introducción) De la intersección de una superficie cónica circular y un plano que no pasa por el vértice, según la inclinación del plano resultan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Estas curvas reciben el nombre de cónicas. En todos los casos mencionados, estas curvas son la gráfica de alguna ecuación de segundo grado en dos variables. En este capítulo mostramos como sus ecuaciones pueden obtenerse aplicando la definición respectiva y utilizando la noción de distancia. También señalamos propiedades y características que posibilitan reconocerlas. Las cónicas como curvas se conocen desde el año 235 AC, fueron exhaustivamente estudiadas por un geómetra griego llamado Apolonio. De su famosa obra: Cónicas sólo se conserva la mitad del original griego y otra parte en árabe. En el año 1710, el astrónomo y amigo de Newton Edmund Halley tradujo la obra de Apolonio al latín y a partir de allí se han generado versiones en varias lenguas modernas. Apolonio sería quien demostró por primera vez de manera sistemática que las cónicas podían obtenerse de cualquier cono, ya fuera recto, oblicuo o escaleno. Además, Apolonio llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja (como si fuera un cucurucho de helado infinitamente largo) por un cono de dos hojas (como dos cucuruchos infinitos y orientados en sentido opuesto cuyos vértices coinciden y cuyos lados pertenecen a una misma recta). Este cambio convirtió a la hipérbola en una curva de dos ramas, tal como la conocemos hoy. Antes de Apolonio los geómetras hablaban de "las dos hipérbolas" en lugar de las dos ramas de una hipérbola única. A partir del siglo XVII con el surgimiento y ulterior desarrollo de la Geometría Analítica de Descartes, estas curvas se tratan por métodos analíticos. Los métodos que Apolonio empleó en las cónicas serían tan semejantes al planteamiento analítico moderno, que suele decirse que se anticipó a este tratamiento en unos 1800 años. Las cónicas reaparecieron con fuerza en el siglo XVII gracias a Kepler quien enunció sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas y a Newton que las dedujo a partir de la ley de gravitación universal y los tres principios de la mecánica. Los Principia permitieron unificar lo que hasta entonces era la " física de la tierra" con la "física del cielo" en lo que hoy conocemos como Mecánica y explicar porqué la Tierra y otros planetas describían órbitas elípticas en torno al sol y hasta predecir la existencia de un planeta desconocido como Neptuno!. Lejos estaba Apolonio de suponer que aquellas curvas que él estudiaba guiado por el espíritu contemplativo y estético que tuvo la matemática griega, se ajustaban a las trayectorias de los cuerpos celestes. En nuestro caso vamos a dar definiciones geométricas de la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola como curvas planas y a obtener sus ecuaciones cuando se refieren a ejes coordenados adecuados. los casos mencionados, estas curvas son la gráfica de alguna ecuación de segundo grado en dos variables. En este capítulo mostramos como sus ecuaciones pueden obtenerse aplicando la definición respectiva y utilizando la noción de distancia. También señalamos propiedades y características que posibilitan reconocerlas. Las cónicas como curvas se conocen desde el año 235 AC, fueron exhaustivamente estudiadas por un geómetra griego llamado Apolonio. De su famosa obra: Cónicas sólo se conserva la mitad del original griego y otra parte en árabe. En el año 1710, el astrónomo y amigo de Newton Edmund Halley tradujo la obra de Apolonio al latín y a partir de allí se han generado versiones en varias lenguas modernas. Apolonio sería quien demostró por primera vez de manera sistemática que las cónicas podían obtenerse de cualquier cono, ya fuera recto, oblicuo o escaleno. Además, Apolonio llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja (como si fuera un cucurucho de helado infinitamente largo) por un cono de dos hojas (como dos cucuruchos infinitos y orientados en sentido opuesto cuyos vértices coinciden y cuyos lados pertenecen a una misma recta). Este cambio convirtió a la hipérbola en una curva de dos ramas, tal como la conocemos hoy. Antes de Apolonio los geómetras hablaban de "las dos hipérbolas" en lugar de las dos ramas de una hipérbola única. A partir del siglo XVII con el surgimiento y ulterior desarrollo de la Geometría Analítica de Descartes, estas curvas se tratan por métodos analíticos. Los métodos que Apolonio empleó en las cónicas serían tan semejantes al planteamiento analítico moderno, que suele decirse que se anticipó a este tratamiento en unos 1800 años. Las cónicas reaparecieron con fuerza en el siglo XVII gracias a Kepler quien enunció sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas y a Newton que las dedujo a partir de la ley de gravitación universal y los tres principios de la mecánica. Los Principia permitieron unificar lo que hasta entonces era la " física de la tierra" con la "física del cielo" en lo que hoy conocemos como Mecánica y explicar porqué la Tierra y otros planetas describían órbitas elípticas en torno al sol y hasta predecir la existencia de un planeta desconocido como Neptuno!. Lejos estaba Apolonio de suponer que aquellas curvas que él estudiaba guiado por el espíritu contemplativo y estético que tuvo la matemática griega, se ajustaban a las trayectorias de los cuerpos celestes. En nuestro caso vamos a dar definiciones geométricas de la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola como curvas planas y a obtener sus ecuaciones cuando se refieren a ejes coordenados adecuados. los casos mencionados, estas curvas son la gráfica de alguna ecuación de segundo grado en dos variables. En este capítulo mostramos como sus ecuaciones pueden obtenerse aplicando la definición respectiva y utilizando la noción de distancia. También señalamos propiedades y características que posibilitan reconocerlas. Las cónicas como curvas se conocen desde el año 235 AC, fueron exhaustivamente estudiadas por un geómetra griego llamado Apolonio. De su famosa obra: Cónicas sólo se conserva la mitad del original griego y otra parte en árabe. En el año 1710, el astrónomo y amigo de Newton Edmund Halley tradujo la obra de Apolonio al latín y a partir de allí se han generado versiones en varias lenguas modernas. Apolonio sería quien demostró por primera vez de manera sistemática que las cónicas podían obtenerse de cualquier cono, ya fuera recto, oblicuo o escaleno. Además, Apolonio llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja (como si fuera un cucurucho de helado infinitamente largo) por un cono de dos hojas (como dos cucuruchos infinitos y orientados en sentido opuesto cuyos vértices coinciden y cuyos lados pertenecen a una misma recta). Este cambio convirtió a la hipérbola en una curva de dos ramas, tal como la conocemos hoy. Antes de Apolonio los geómetras hablaban de "las dos hipérbolas" en lugar de las dos ramas de una hipérbola única. A partir del siglo XVII con el surgimiento y ulterior desarrollo de la Geometría Analítica de Descartes, estas curvas se tratan por métodos analíticos. Los métodos que Apolonio empleó en las cónicas serían tan semejantes al planteamiento analítico moderno, que suele decirse que se anticipó a este tratamiento en unos 1800 años. Las cónicas reaparecieron con fuerza en el siglo XVII gracias a Kepler quien enunció sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas y a Newton que las dedujo a partir de la ley de gravitación universal y los tres principios de la mecánica. Los Principia permitieron unificar lo que hasta entonces era la " física de la tierra" con la "física del cielo" en lo que hoy conocemos como Mecánica y explicar porqué la Tierra y otros planetas describían órbitas elípticas en torno al sol y hasta predecir la existencia de un planeta desconocido como Neptuno!. Lejos estaba Apolonio de suponer que aquellas curvas que él estudiaba guiado por el espíritu contemplativo y estético que tuvo la matemática griega, se ajustaban a las trayectorias de los cuerpos celestes. En nuestro caso vamos a dar definiciones geométricas de la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola como curvas planas y a obtener sus ecuaciones cuando se refieren a ejes coordenados adecuados. cónicas. En todos los casos mencionados, estas curvas son la gráfica de alguna ecuación de segundo grado en dos variables. En este capítulo mostramos como sus ecuaciones pueden obtenerse aplicando la definición respectiva y utilizando la noción de distancia. También señalamos propiedades y características que posibilitan reconocerlas. Las cónicas como curvas se conocen desde el año 235 AC, fueron exhaustivamente estudiadas por un geómetra griego llamado Apolonio. De su famosa obra: Cónicas sólo se conserva la mitad del original griego y otra parte en árabe. En el año 1710, el astrónomo y amigo de Newton Edmund Halley tradujo la obra de Apolonio al latín y a partir de allí se han generado versiones en varias lenguas modernas. Apolonio sería quien demostró por primera vez de manera sistemática que las cónicas podían obtenerse de cualquier cono, ya fuera recto, oblicuo o escaleno. Además, Apolonio llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja (como si fuera un cucurucho de helado infinitamente largo) por un cono de dos hojas (como dos cucuruchos infinitos y orientados en sentido opuesto cuyos vértices coinciden y cuyos lados pertenecen a una misma recta). Este cambio convirtió a la hipérbola en una curva de dos ramas, tal como la conocemos hoy. Antes de Apolonio los geómetras hablaban de "las dos hipérbolas" en lugar de las dos ramas de una hipérbola única. A partir del siglo XVII con el surgimiento y ulterior desarrollo de la Geometría Analítica de Descartes, estas curvas se tratan por métodos analíticos. Los métodos que Apolonio empleó en las cónicas serían tan semejantes al planteamiento analítico moderno, que suele decirse que se anticipó a este tratamiento en unos 1800 años. Las cónicas reaparecieron con fuerza en el siglo XVII gracias a Kepler quien enunció sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas y a Newton que las dedujo a partir de la ley de gravitación universal y los tres principios de la mecánica. Los Principia permitieron unificar lo que hasta entonces era la " física de la tierra" con la "física del cielo" en lo que hoy conocemos como Mecánica y explicar porqué la Tierra y otros planetas describían órbitas elípticas en torno al sol y hasta predecir la existencia de un planeta desconocido como Neptuno!. Lejos estaba Apolonio de suponer que aquellas curvas que él estudiaba guiado por el espíritu contemplativo y estético que tuvo la matemática griega, se ajustaban a las trayectorias de los cuerpos celestes. En nuestro caso vamos a dar definiciones geométricas de la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola como curvas planas y a obtener sus ecuaciones cuando se refieren a ejes coordenados adecuados.