Introducción a la mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana

SERGIO GRILLO; SEBASTIÁN FERRARO

La Falda, Córdoba

Conferencia; II Encuentro de Geometría Diferencial; 2005

El objeto de estas notas es dar, en el contexto de la geometría diferencial, una breve introducción a las formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de sistemas mecánicos. En la primera parte, se intentará establecer un contacto preciso entre la formulacióon de las ecuaciones de Euler-Lagrange para sistemas de partículas con vínculos, que aparece en los libros de mecánica clásica, y los conceptos geométricos que entran en juego en la derivación de las mismas. Una vez realizada dicha derivación, definiremos los conceptos de sistema Lagrangiano y de formulación Lagrangiana de sistemas dinámicos, presentaremos algunos sistemas que caen bajo tal definición, y citaremos ciertas ventajas de describir a los mismos bajo dicho formalismo, a saber: la sistematización de la escritura de las ecuaciones de movimiento; la relación entre cantidades conservadas y simetr´ıas de la función Lagrangiana. Por último, describiremos brevemente la formulación variacional de los sistemas Lagrangianos. En la segunda parte, estudiaremos la formulación Hamiltoniana de sistemas mecánicos. En lineas generales, avanzaremos a partir de un ejemplo sencillo, aumentando gradualmente el grado de generalidad a través de la introducción de estructuras geométricas adecuadas. Se mostrará cómo se construye un sistema Hamiltoniano a partir de uno Lagrangiano mediante la transformación de Legendre, indicando la relación entre ambos formalismos. Finalmente, destacaremos la importancia de contar con una expresión intrínseca para las ecuaciones de Hamilton.