La Media de Karcher de tres matrices positivas

GHIGLIONI, EDUARDO; LIM, YONGDO

Buenos Aires

Seminario; Seminario de Análisis Funcional "Mischa Cotlar"; 2022

Instituto Argentino de Matemática "Alberto P. Calderón"

Sea $\mathcal{P}(N)$ el espacio de matrices definidas positivas $N\times N$. En este espacio tenemos una estructura Riemanniana: $$\langle X, Y \rangle_A = \mbox{tr}(A^{-1}XA^{-1}Y)$$ donde $A \in\mathcal{P}(N)$, $X, Y \in T_A\mathcal{P}(N)$. La distancia Riemannina está dada por $$\delta(A, B) = \left[\sum_{i=1}^N \log^2 \lambda_i(A^{-1}B)\right]^{1/2}$$ donde $\lambda_i(X)$ denota un autovalor de $X$.La media geométrica de dos elementos $A$ y $B$ de $\mathcal{P}(N)$está definida por$$A\#B:=A^{\frac{1}{2}}\left(A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{\frac{1}{2}}.$$Notablemente, la media geométrica tiene la siguiente formula lineal para matrices definidas positivas $2\times 2$ de determinante uno, \begin{equation*}A \# B = \frac{A +B}{\sqrt{\det(A+B)}}.\end{equation*}Por otro lado, la media de Karcher de $n$ matrices pertenecientes a $\mathcal{P}(N)$ está definida por$$\Lambda(A_1,\ldots,A_n):=\underset{X\in \mathbb{P}_N}{\mbox{argmin}}\ \sum_{k=1}^n \delta^2(X,A_k).$$Esta es una extensión natural de la media geométrica de dos variables. Observar que la media de Karcher $\Lambda(A_1,\dots,A_n)$ pertenece a la capsula convexa Riemannianade las matrices $A_j$'s. Sin embargo, en general es aún más difícil describir la capsula convexa Riemanniana. Por lo cual, encontrar una formula cerrada para $\Lambda(A_1,\dots,A_n)$ es problemático incluso para tres matrices definidas positivas $2\times 2$. En esta charla vamos a dar una clasificación de las matrices definidas positivas $2\times 2$ de determinante uno tales que\begin{equation*}\Lambda(A,B,C) = \frac{A +B+C}{\sqrt{\det(A+B+C)}}.\end{equation*}Por último mencionaremos algunos problemas relacionados a esta fórmula. Esta charla está basada en distintos trabajos con coautores como Hayoung Choi, Miklós Pálfia y Yongdo Lim.