Una familia de grafos SRG enteros Ramanujan no bipartitos

DENIS E. VIDELA; RICARDO A. PODESTÁ

La Plata

Congreso; UMA; 2018

El objetivo de esta charla es presentar una familia infinita de grafos de Cayley definidos vía cuerpos finitosFq con interesantes propiedades combinatorias obtenidas a partir de su espectro. Más precisamente, paracada par de enteros positivos m,l definimos los grafosΓq,m(l) = Cay(Fq, S_m,l) donde S_m,l = {x^{q^l+1} : x ∈ F^∗_{q^m}}.Estos generalizan la familia de grafos de Payley ( l = 0).Calcularemos las distribuciones de rangos de la familia de formas cuadráticas Q_λ(x) = Tr_m(λx^{q^l+1}) con λvariando en F_{q^m}, cuando m_l = m/(m,l) sea par, donde Tr_m denota la funci´on traza de Fqm en Fq. Usandosumas exponenciales veremos que es posible encontrar los espectros de los grafos Γq,m(l).Usando el espectro, mostraremos que estos grafos son enteros, no bipartitos y SRG (strongly regulargraph). Veremos que ´estos resultan ser grafos de Ramanujan sólo en característica 2 y 3, bajo ciertas condiciones....Al final, si el tiempo lo permite, veremos que es posible generalizar estas construcciones a otras formascuadráticas .