Estructuras localmente conforme Kähler invariantes en solvariedades compactas.

MARCOS ORIGLIA; ADRIÁN ANDRADA

Rosario

Congreso; LXII Reunión anual de Comunicaciones Científicas de la Unión Matemática Argentina; 2013

Universidad Nacional de Rosario

Sea $(M^{2n},J,g)$ una variedad hermitiana, donde $J$ denota su estructura compleja y $g$ su m´etrica hermitiana. La variedad $(M^{2n},J,g)$ es localmente conforme K"ahler (l.c.K.) si existe un cubrimiento por abiertos ${ U_i}_{iin I}$ de $M$ y una familia ${ f_i}_{iin I}$ de funciones $C^{infty}$, $f_i : U_i o mathbb{R}$, tal que cada m´etrica local [ g_i=exp(-f_i),g|_{U_i} ] es K"ahler. Equivalentemente, $(M^{2n},J,g)$ es l.c.K. si y s´olo si existe una 1-forma cerrada $ heta$ definida globalmente en $M$ tal que [ domega= hetawedgeomega. ] La $1$-forma $ heta$ se llama forma de Lee. En el caso particular que $ heta$ sea paralela $(M^{2n},J,g)$ se llama una variedad de Vaisman. Se estudian estructuras l.c.K. invariantes a izquierda en grupos de Lie, lo que permite reducir el problema a nivel de ´algebras de Lie. Se consideran en particular grupos de Lie que poseen subgrupos discretos co-compactos (por lo tantos dichos grupos de Lie deben ser unimodulares). En este trabajo probaremos el siguiente resultado: extbf{Teorema}: Sea $mathfrak{g}$ un ´algebra de Lie unimodular. Si $mathfrak{g}$ admite una estructura l.c.K. $(J,g)$ con $J$ abeliana, esto es, $[JX,JY]=[X,Y]$ para todo $X,Yinmathfrak{g}$, entonces $mathfrak{g}=mathbb{R} imes mathfrak{h}_{2n+1}$, donde $mathfrak{h}_{2n+1}$ es el ´algebra de Lie de Heisenberg de dimensi´on $2n+1$, con su estructura l.c.K. usual. Tambi´en daremos algunos ejemplos nuevos de ´algebras de Lie unimodulares que no son Vaisman.