Estructuras localmente conforme Kahler invariantes a izquierda en grupos de Lie

MARCOS ORIGLIA

Córdoba

Congreso; IV Congreso Lationamericano de Matemáticos; 2012

FaMAF-UNC-UMALCA

En este trabajo se estudian m\'etricas {\em localmente conforme K\"ahler} (l.c.K.) invariantes a izquierda en grupos de Lie. Como la estructura l.c.K. es invariante a izquierda podemos definir una estructura l.c.K. en el \'algebra de Lie $\mathfrak{g}$, es decir una estructura hermitiana $(J,\langle \cdotp,\cdotp \rangle)$ tal que $d\omega=\theta\wedge\omega$ para alguna $\theta\in\mathfrak{g}^*$ (llamada la forma de Lee), donde $\omega$ es la $2$-forma fundamental (ver \cite{DO}). De esta manera podemos analizar las estructuras a nivel del \'algebra. Se prob\'o que si $G$ es un grupo de Lie complejo con una estructura l.c.K. invariante a izquierda entonces $G$ es de la forma $\mathbb{C}\ltimes\mathbb{C}^n$, el cual no es unimodular, y por lo tanto no admite cocientes por subgrupos discretos \cite{Mi}. Se estudian tambi\'en \'algebras de Lie con estructuras l.c.K. tales que: $(i)$ la forma de Lee es paralela (en este caso la m\'etrica se denomina de Vaisman (ver \cite{V2})), y $(ii)$ $J$ es abeliana, es decir $[JX,JY]=[X,Y]$ para todo $X,Y\in \mathfrak{g}$. Se prueba que si $(\mathfrak{g},J,\langle \cdotp,\cdotp \rangle)$ es de Vaisman con $J$ abeliana y $\mathfrak{g}$ es unimodular entonces $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}_{2n-1}\times{\mathbb R}$ donde $\mathfrak{h}_{2n-1}$ es el \'algebra de Lie de Heisenberg de dimensi\'on $2n-1$. Adem\'as se encontraron nuevos ejemplos de \'algebras de Lie unimodulares equipadas con estructuras l.c.K. para cualquier dimensi\'on par. En \cite{HK,K,S,U} se puede encontrar otros resultados recientes sobre métricas l.c.k. invariantes a izquierda en grupos de Lie. Bibliografía \bibitem{DO} S. Dragomir, L. Ornea, Locally Conformal K\"ahler Geometry, Progress in Mathematics v. 155, Birkh\"auser, 1998. \bibitem{HK} K. Hasegawa, Y. Kamishima, Locally conformally K\"ahler structures on homogeneous spaces, preprint 2011, arXiv:1101.3693. \bibitem{K} H. Kasuya, Vaisman metrics on solvmanifolds and $d_\theta$-cohomology, preprint 2011, arXiv:1104.3451. \bibitem{Mi} J. Milnor, Curvatures of left invariant metrics on Lie groups. Advances in Math.\ {\bf 21} (1976), 293--329. \bibitem{S} H. Sawai, Locally conformal K\"ahler structures on compact nilmanifold with left-invariant complex structures, Geom. Dedicata\ {\bf 125} (2007), 93--101. \bibitem{U} L. Ugarte, Hermitian structures on six-dimensional nilmanifolds, Transform. Groups\ {\bf 12} (2007), 175--202. \bibitem{V2} I. Vaisman, Locally conformal K\"ahler manifolds with parallel Lee form, Rend. Mat., VI Ser.\ {\bf 12} (1979), 263--284.