Deformaciones de Álgebras de Lie filiformes complejas de dimensiones bajas y sus componentes irreducibles

SONIA VERA

Valparaíso

Congreso; SUMA- Primer encuentro conjunto de la sociedad de matemática de Chile y la Unión de matemática Argentina; 2016

Sociedad de matemática de Chile - Unión de matemática Argentina

Michel Vergne inició el estudio de la geometría de la variedad algebraica compleja de todas las álgebras o corchetes de Lie nilpotentes e introdujo el concepto de álgebra de Lie filiforme. Esta es una álgebra de Lie nilpotente de dimensión n y nilíndice máximo n-1. Dos conceptos relevantes son el de rigidez y el de deformación (lineal). Un corchete de Lie µ se dice rígido si todos los corchetes en algún entorno de µ son isomorfos a µ. Una familia de corchetes de Lie µt, con t un número complejo, es una deformación lineal de µ si µt = µ + t.φ donde φ es un corchete de Lie que es 2-cociclo de µ. Si para todo t pequeño µt no es isomorfo a µ, entonces la deformación es no trivial y µ no es rígido. Presentaremos un método general para construir deformaciones lineales de álgebras de Lie, que se adapta muy bien y resulta efectivo en el caso de álgebras filiformes. Usando este método construimos deformaciones lineales para cualquier filiforme. Para dimensiones bajas en las que las variedades de filiformes están parametrizadas y podemos conocer su descomposición en componentes irreducibles, mostramos que las deformaciones construidas son no triviales en un abierto denso, para luego deducir que no existen filiformes rígidas en estas dimensiones. Este resultado se enmarca en el contexto más general de una conjetura atribuida a M. Vergne, abierta desde 1970, que afirma que ningún álgebra de Lie nilpotente es rígida