La conjetura de Vergne en las álgebras de Lie filiformes de dimensiones bajas

SONIA VERA

La Plata, Buenos Aires

Congreso; Encuentro Rioplatense de Álgebra y Geometría; 2016

Universidad nacional de la Plata- Universidad de la República Uruguaya

Michel Vergne estudió la geometría de la variedad algebraica compleja de productos de Lie nilpotentes e introdujo el concepto de álgebra de Lie filiforme. Esta es una álgebra de Lie nilpotente dimensión n y nilíndice máximo n−1. Además Vergne muestra que un álgebra de Lie filiforme arbitraria se obtiene, salvo isomorfismo, del álgebra de Lie filiforme graduada L(n) definida en una base {x0,x1,...,xn−1} con corchete de Lie µ(x0,xj) = xj+1, j = 1,2,...,n−2 y un cociclo de la cohomología adjunta. Ancochea y Goze y Gomez, Jiménez-Marchán y Khakimdjanov parametrizan las álgebras de Lie filiformes de dimensión ≤11. Una familia de álgebras de Lie µt con t∈ C× es una deformación lineal de µ, si µt = µ +tφ, donde φ es un 2-cociclo de µ y un álgebra de Lie. La deformación µt de µ es no trivial,si µt para toda t pequeña no es isomorfa a µ. Un álgebra de Lie µ es rígida si todas sus deformaciones son triviales.En esta charla, se introdujo un método para construir deformaciones lineales de álgebras de Lie, el cual consiste en tomar una derivación particular de un ideal de codimensión 2. En el caso de las álgebras de Lie filiformes consideraremos como ideal de codimensión 2, el conmutador del álgebra. Siguiendo la parametrización enunciada anteriormente, presentaremos cada componente irreducible de la variedad de filiformes y construiremos deformaciones lineales no triviales en un abierto, para concluir que no hay filiformes rígidas (órbita o clase de isomorfismo abierta) de dimensión ≤ 11 en la variedad algebr´aica de las ´algebras de Lie. M´as a´un, mostraremos que no hay álgebras de Lie filiformes en la variedad algebraica de las álgebras de Lie filiformes. Recordamos que existe una Conjetura atribuida a M. Vergne, que asegura que no hay álgebras de Lie nilpotentes rígidas en la variedad algebraica de las álgebras de Lie.