La conjetura de Michele Vergne en las Álgebras de Lie 3-pasos nilpotentes

SONIA VERA

Santa Fé, Argentina

Congreso; Reunión Anual de la Unión de Matemática Argentina; 2015

Unión de Matemática Argentina-Universidad Nacional del Litoral

Michel Vergne estudio la geometría del espacio de productos de Lie nilpotentes y es a quien se la adjudica la siguiente conjetura, abierta ya por casi 45 años. ?Conjetura (1970): No existe ninguna álgebra de Lie nilpotente rígida en la variedad algebraica de las álgebras de Lie complejas de dimensión n.Un producto de Lie µ es rígido si todos los productos de su entorno son isomorfos a µ, es decir,µ es rígido si su orbita O(µ), definida bajo la acción natural de Gl(n,C) es una abierto Zariski.Una familia de álgebras de Lie µ_t con t ∈ C es una deformación lineal de µ, siµ_t = µ + tφ, donde φ es un álgebra de Lie y φ es un 2-cociclo de µ. La deformación µ_t de µ es trivial, si µ_t para toda t pequeña es isomorfa a µ. En caso contrario, la deformación µ_t es no trivial.Grunewald y O?Halloran construyeron deformaciones lineales de un álgebra de Lie g tomando derivaciones de un ideal h de codimensión 1. En esta charla, se empleo esta construcción para las álgebras de Lie 3-pasos nilpotente, es decir las ´ algebra de Lie g con producto µ y serie central descendente de la forma g ⊇ µ(g, g) ⊇ µ(g, µ(g, g)) ⊇ 0, para obtener sistemáticamente deformaciones lineales no triviales de estas y de esta forma mostrar que verifican la conjetura de Vergne. Para tal construcción se hará hincapié en el centro del ideal de codimensión 1, se mostrará que si el centro tiene dimensión 3 o más y no está contenido en el conmutador de h, se puede construir una derivación nilpotente y en tal caso existirá una deformación no trivial en la variedad de las álgebras de Lie nilpotente. Si el centro del ideal tiene dimensión 2, puede ocurrir que el centro del álgebra tenga dimensión 2 o 1, en estos caso veremos que no siempre es posible construir derivaciones nilpotentes, por ende se podrá construir deformaciones en la variedad de las álgebras de Lie. En el caso que la dimensión del centro de h sea 1, la dimensión del centro de g debe ser 1, veremos que es uno de los casos más difícil de construir deformaciones.