Un poco de Matematica Constructiva

EDUARDO J. DUBUC, MARINA FRAGALA, MARINA VALDORA

Revista de Educación Matemática

Año: 2005 p. 15 - 40

0326-8780

La matematica dejo de ser constructiva cuando se incorporo la utilizacion de la teoria de conjuntos, y en particular el axioma de eleccion en demostraciones de existencia. Simultaneamente comenzo a utilizarse el tercero excluido en estas demostraciones. Al principio estas tecnicas despertaron mucha desconfianza, y lo que hoy se acepta sin la menor objecion fue altamente cuestionado por la escuela intuicionista, que acepta solamente demostraciones constructivas. En este articulo pretendemos explicar e ilustrar en que consiste esta problematica constructiva e intuicionista en el contexto del teorema de Gauss (contexto que historicamente fue encarado en forma especialmente constructiva por el matematico Kronecker) basandonos exclusivamente en el hermoso texto de Van der Waerden. Ademas, ligado a ello, presentar una construccion debida al matematico A. Joyal (y no publicada) que permite obtener intuicionisticamente la clausura pitagorica (todo elemento positivo tiene una raiz cuadrada positiva) de un cuerpo totalmente ordenado sin tener que decidir si un dado elemento ya tiene o no una raiz cuadrada. Los metodos y razonamientos que utilizamos en este articulo sirven tambien para ilustrar tecnicas basicas de la teoria de categorias, que es una teoria particularmente bien adaptada a la matematica constructiva. Finalmente, se muestra como una matematica constructiva al estilo del siglo diecinueve tiene una vigencia actual debido a la utilizacion de computadoras en el algebra.