Funciones esféricas matriciales asociadas a las esferas y a los espacios proyectivos reales.

IGNACIO ZURRIÁN

FaMAF - UNC

Lugar: CÓRDOBA; Año: 2013 p. 117

En este trabajo, primero, se determinan todas las funciones esfericas irreducibles  decualquier K-tipo asociadas al par (G;K) = (SO(4); SO(3)). Para esto asociamos a  unafuncion vectorial H = H(u) de una variable real u, la cual es analtica en u = 0 y cuyascomponentes son soluciones de dos sistemas acoplados de ecuaciones diferenciales ordinarias.A traves de una apropiada conjugacion que involucra a los polinomios de Hahn conseguimosdesacoplar uno de estos sistemas, que luego llevamos a un sistema de ecuaciones diferencialeshipergeometricas. Encontrando entonces como solucion la funcion vectorial P = P(u), cuyasentradas son multiplos de polinomios de Gegenbauer. Posteriormente, identicamos aquellassoluciones simultaneas y usamos la teora de representaciones de SO(4) para caracterizar todaslas funciones esfericas irreducibles. Las funciones P = P(u) correspondientes a las funcionesesfericas irreducibles de un K-tipo jo ` son cuidadosamente empaquetadas en una sucesionde polinomios matriciales fPwgw0 de tama~no (` + 1)  (` + 1). Finalmente probamos quee Pw = P0􀀀1Pw es una sucesion de polinomios ortogonales con respecto a un peso matricial W.Mas aun, probamos que W admite un operador diferencial simetrico de segundo orden eDy unoperador diferencial simetrico de primer orden e E.Luego se establece una directa relacion entre las funciones esfericas de la esfera n-dimensionalSn ' SO(n+1)=SO(n) y las funciones esfericas del espacio proyectivo real n-dimensionalPn(R) ' SO(n+1)=O(n). Precisamente, para n impar una funcion en SO(n+1) es una funcionesferica irreducible de algun tipo  2 S^O(n) si y solo si es una funcion esferica irreducible dealgun tipo  2 ^O(n). Cuando n es par esto tambien es cierto para ciertos tipos, y en los otroscasos exhibimos una clara correspondencia entre las funciones esfericas irreducibles de ambospares (SO(n+1); SO(n)) y (SO(n+1); O(n)). Entonces, encontrar todas las funciones esfericasde un par es equivalente a hacer lo mismo con el otro.Finalmente, estudiamos las funciones esfericas de ciertos tipos de la esfera n-dimensionalSn ' SO(n + 1)=SO(n), para cualquier n. Mas precisamente, explicitamos todas las funcionesesfericas cuyas funcion asociada H es escalar, esto incluye a las de tipo trivial, y luego estudiamostodas las de tipo fundamental, describiendolas en terminos de funciones hipergeometricasmatriciales 2F1. Para esto trabajamos con las realizaciones explcitas de las representacionesfundamentales del grupo especial ortogonal real. Posteriormente construimos para cada tipofundamental una sucesion de polinomios ortogonales con respecto a un peso W, las cuales estanasociadas a las funciones esfericas. Y probamos que, para cualquier n, W admite un operadordiferencial simetrico de segundo orden.