Estimaciones a priori para el problema de Dirichlet en un polígono

TOSCHI, MARISA; DURÁN, RICARDO; SANMARTINO, MARCELA

La Falda

Congreso; X Encuentro Nacional de Analistas A. P. Calderón; 2010

\begin{document}Sea $\Omega$ un poligono en $\R^2$ y $u$soluci\'on del problema\begin{equation}\label{poligono}\left\{\begin{array}{cc}-\Delta u=f &\mbox{ en }\Omega \\u=0 & \mbox{ en }\t\Omega \end{array}\right.\end{equation}Queremos hallar una estimaci\'on para $u$ de la siguiente manera$$\| u\|_{L^p_\omega(\Omega)} +\|\rho^{1-\frac\pi\theta}\ u\|_{L^p_\omega(\Omega)} +\|\rho^{2-\frac\pi\theta} u\|_{L^p_\omega(\Omega)}\le C\, \|f\|_{L^p_\omega(\Omega)},$$para $\omega\in A_p(\R^n)$, donde $\rho(x)$ es la distancia de $x$ al v\'ertice mas cercano del pol\'igono y$\theta$ el \'angulo interior mas grande del pol\'igono.Para obtener este resultado, estudiaremos las derivadas dela funci\'on de Green  $G_p(x,y)$ asociada al problema,usando la Transformada de Schwarz Christoffel. Esta transformaci\'on esuna aplicaci\'on conforme que llevael disco unidad $B$ al poligono $\O$ y nos permite usar resultados conocidos de la funci\'on de Green en $B$.\end{document}