Topología tipo Zariski para Álgebras de Implicación

ABAD, MANUEL; CASTAÑO, DIEGO; DÍAZ VARELA, JOSÉ PATRICIO

Bahía Blanca

Congreso; Congreso Dr. Antonio Monteiro; 2009

Universidad Nacional del Sur

Entre las estructuras algebraicas asociadas a sistemas lógicos, son particularmente frecuentes las estructuras de implicación. Dichas estructuras constan, en general, de un conjunto parcialmente ordenado cuyo orden viene dado por una operación binaria de implicacion ->. Si el conjunto ordenado en cuestión es un semirreticulado superior cuyos filtros principales son álgebras de Boole, obtenemos las álgebras de implicación [2, 3], también conocidas con el nombre de álgebras de Tarski [4]. Estas álgebras pueden caracterizarse asimismo como los ->-subreductos de las algebras de Boole. Concretamente, un álgebra de implicación es un álgebra A = (A;->) de tipo (2) que satisface las siguientes identidades: (I1) (x -> y) -> x = x, (I2) (x -> y) -> y = (y -> x) -> x, (I3) x -> (y -> z) = y -> (x -> z). En [1] se dio una representación de un álgebra de implicación A como unión de una única familia de filtros en cierta álgebra de Boole Bo(A) y se utilizó el espacio de Stone de Bo(A) para obtener una representación topológica de A. Extendiendo dicho trabajo, denimos ahora una topología tipo Zariski sobre el conjunto Spec(A) de filtros implicativos maximales de A cuya compacticación por un punto resulta homeomorfa al espacio de Stone de Bo(A). Esto permite dar una representación topológica intrínseca de A en el sentido de que no depende de la inmersión de A en un álgebra de Boole. Finalmente extendemos dicha representación topológica a una dualidad entre la categoría de las álgebras de implicación y la categoría de ciertos espacios topológicos particulares.