Decaimiento de la transformada de Fourier de medidas autosimilares

CAROLINA MOSQUERA; PABLO SHMERKIN

Valparaíso

Congreso; SUMA 2016 (Primer Encuentro Conjunto Sociedad de Matematica de Chile y Union Matem atica Argentina); 2016

El comportamiento de la transformada de Fourier $\widehat{\nu}(\xi)$ de una medida finita $\nu$ cuando $|\xi|\to\infty$ es una caracter\'istica fundamental de la medida. Se dice que $\widehat{\nu}$ tiene {\it decaimiento polinomial} si $|\widehat{\nu}(\xi)|\le C|\xi|^{-\sigma/2}$ para algunas constantes $C, \sigma>0.$ El supremo de tales $\sigma$ se llama la {\it dimensi\'on de Fourier} de la medida $\nu.$El estudio del decaimiento para convoluciones de Bernoulli (es decir, medidas autosimilares resultantes de sistemas iterados de funciones $\{ax+t_i\}$ con $a\in(0,1)$ y pesos $p_i$ ) se remonta a trabajos cl\'asicos de Erd\"{o}s \cite{Erd39, Erd40} y Kahane \cite{Kah71}.Dentro de este contexto, en este trabajo presentaremos resultados acerca del decaimiento polinomial en infinito de la transformada de Fourier, fuera de un conjunto excepcional peque\~no, dando cotas expl\'icitas. Adem\'as, estudiaremos distintos tipos de dimensiones de convoluciones de Bernoulli.