Un problema de aproximación con espacios invariantes

CARLOS CABRELLI, CAROLINA MOSQUERA, VICTORIA PATERNOSTRO

Bahía Blanca

Congreso; Reunión Anual de la UMA; 2016

Consideraremos el siguiente problema: Dados un espacio de Hilbert $\mathcal{H},$ un conjunto finito de datos$\mathcal{F}\subseteq\mathcal{H}$ y una clase de subespacios cerrados $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{H},$ encontrar $S^*\in\mathcal{C}$ ``m\'as cercano'' a $\mathcal{F}.$En esta charla estudiaremos este problema de aproximaci\'on usando espacios multiplicativamente invariantes (MI). M\'asprecisamente, si $H$ es un espacio de Hilbert y $(\Omega,\mu)$ es un espacio de medida $\sigma$-finito, diremosque un subespacio cerrado de $ L^2(\Omega, H)$ es MI si es invariante bajo la multiplicai\'on puntual por funciones que pertenecen a un conjunto fijo $\mathcal{D}\subseteq L^{\infty}(\Omega).$Luego, mostraremos que los espacios MI est\'an relacionados con los espacios invariantes por traslaciones (SIS) mediante un isomorfismo isom\'etrico, lo cual nos permitir\'a resolver el problema de aproximaci\'on con SIS en el contexto de grupos localmente compactos y abelianos. Finalmente introduciremos la noci\'on de espacios MI descomponibles (es decir, espacios MI que pueden ser descompuestosen una suma ortogonal de subespacios MI), y estudiaremos el problema de aproximaci\'on con estos espacios.Mostraremos que existe una relaci\'on uno a uno entre los espacios MI descomponibles y los SIS con extra-invariancia, lo cualnos permitir\'a resolver el problema de aproximaci\'on en estos \'ultimos espacios.Los resultados de esta charla est\'an basados en un trabajo junto con Carlos Cabrelli y Victoria Paternostro.