Aproximación de datos con espacios extra-invariantes de longitud pequenia

CARLOS CABRELLI ; CAROLINA MOSQUERA

San Luis, Prov. de San Luis

Congreso; Reunión Anual de la UMA; 2014

Los espacios invariantes por traslaciones (EITE) son subespacios cerrados de $L^2(\mathbb{R}^d)$ que son invariantes por traslaciones enteras. Estos espacios cumplen un rol muy importante en teoría de aproximación, análisis armónico, teoría de wavelets, muestreo y procesamiento de senales. Los EITE pueden ser invariantes además bajo traslaciones sobre un conjunto que contenga estrictamente a $\mathbb{Z}^d.$ En 2007, Aldroubi et al. dan solución al siguiente problema: Dado un conjunto de funciones $\mathcal{F}= \{f_1, \dots, f_m\}\subset L^2(\mathbb{R}^d),$ encontrar un EITE $V$ de longitud menor o igual que $n$ tal que $ V= \mathop{argmin}_{V^{\prime}\in \mathcal{V}_n} \sum_{i=1}^{m} \|f_i-P_{V^{\prime}}f_i\|^2, $ donde $\mathcal{V}_n$ denota al conjunto de los EITE de longitud menor o igual que $n.$ Por otro lado, en 2012, Adroubi et al. dado un conjunto de funciones $\mathcal{F}= \{f_1, \dots, f_m\}\subset L^2(\mathbb{R}),$ los autores construyen el EITE principal $V$ más cercano a $\mathcal{F}$ en el sentido que $V$ minimiza la expresión: $ \sum_{i=1}^{m} \|f_i-P_V f_i\|^2, $ entre todos los EITE principales con generador ortonormal que además son invariantes por traslaciones reales o entre todos los EITE con generador ortonormal con extra-invariancia $\frac{1}{n}\mathbb{Z}$ para alg\'un $n\in\mathbb{N}.$ En esta charla, daremos solución al siguiente problema: Dado $\mathcal{F}= \{f_1, \dots, f_m\}\subset L^2(\mathbb{R}),$ encontrar un EITE $V= S(\phi_1, \dots, \phi_{\ell})$ de longitud menor o igual que $\ell$ con extra-invariancia $\frac{1}{n}\mathbb{Z}$ tal que $\{T_k\phi_i\colon 1\le i\le \ell, k\in\mathbb{Z}^d\}$ forme un marco de $V$ y tal que $ V= \mathop{argmin}_{V^{\prime}\in \mathcal{V}_n^{\ell}} \sum_{i=1}^{m} \|f_i- P_{V^{\prime}}f_i\|^2, $ donde $\mathcal{V}_n^{\ell}$ es el conjunto de todos los EITE de longitud menor o igual que $\ell$ con extra-invariancia $\frac{1}{n}\mathbb{Z}$ cuyas traslaciones enteras forman un marco. Por otro lado consideramos el mismo problema para el caso de espacios invariantes por traslaciones arbitrarias.