Sistemas democráticos de traslaciones enteras

CARLOS CABRELLI, CAROLINA MOSQUERA

San Miguel de Tucumán, Prov. de Tucumán

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina (UMA) 2011; 2011

 En aproximación no lineal el problema fundamental consiste en obtener una buena  descripción de una señal o vector $f$ de $R^N$ usando  sólo  $m$ coordenadas en alguna base fija $B.$ Supongamos que $X$ es un espacio de Banach separable que posee una  base de Schauder $\varPhi= \{\varphi_k\}_{k\in \N}$.Para $m =1,2,3...$ se define $\Sigma_m$ como el conjunto de todos los $g\in X$ tal que$g$ tiene a lo sumo $m$ coeficientes no nulos  en la base $\varPhi$.Se define la mejor aproximación por $m$ términos con respecto a la base $\varPhi$ como $\sigma_m(f, \varPhi):=  \inf_{b_k, \Lambda} \Big\|f- \sum_{k\in\Lambda} b_k \varphi_k \Big\|,$donde el ínfimo se toma sobre todos los subconjuntos de $m$ elementos $\Lambda \subset \N$ y escalares  arbitrarios $\{b_k\}_{k \in \Lambda}.$ Consideremos ahora, el siguiente algoritmo, conocido como  Algoritmo Greedy:Para un elemento $f\in X$ sea  $f= \sum_{k=1}^{\infty}c_k(f) \varphi_k.$, su desarrollo en la base $\varPhi.$Se define  el  m-ésimo aproximante greedy para $f$ con respecto a la base $\varPhi$ como,$G_m(f, \Phi):= \sum_{j=1}^{m} c_{k_j}(f) \varphi_{k_j}.$y el error de aproximaci\'on:\\ \mbox{$e_m(f ,\varPhi) :=\Big\|f- G_m(f, \varPhi) \Big\|.$} Es claro que $\sigma_m(f,\varPhi) \leq e(f,\varPhi)$.Uno quisiera que el aproximante greedy diese un error del orden de $\sigma_m$ cualquiera sea $m$ y $f$. O sea, que exista una constante $C>0$ s\'olo dependiendo de $X$ y $\varPhi$ tal que\begin{equation}\label{greedy}e(f,\varPhi) \leq C \sigma_m(f, \varPhi),\end{equation}para toda $f \in X$ y todo $m\in\N $(i.e. la base $\varPhi$ es greedy). Telmyakov y  Konyagin en 1999, caracterizaron las bases greedy de un espacio de Banach:Una base $\varPhi$  de un espacio de Banach X es greedy si y sólo sies incondicional y democrática.Una base $\varPhi$ se dice democrática si para cualesquiera dos conjuntos finitos de índices $P$ y $Q$, de igual cardinal,   existe una constante $C= C(X, \varPhi)$ tal que $\Big\|\sum_{k\in P} \varphi_k \Big\| \leq C \Big\|\sum_{k\in Q} \varphi_k \Big\|. $Los resultados que presentaremos aquí son acerca de la noción de democracia en el caso de sucesiones marcos de traslaciones enteras en $L^2(R).$ Se obtienen ejemplos de colecciones democráticas y no democráticas y condiciones necesarias y otras suficientes para que una colección sea democrática.