Variedades casi minimales de retículos residuados conmutativos e integrales

MARCOS, MIGUEL ANDRÉS; AGLIANÒ, PAOLO; GALATOS, NIKOLAOS

Congreso; Reunión Anual Unión Matemática Argentina 2021, edición online, "virtUMA 2021"; 2021

Unión Matemática Argentina

Las lógicas subestructurales son sistemas lógicos que enmarcan dentro de una misma teoría lógicas que fueron surgiendo por diversos motivos y con diferentes metodologías. Los modelos algebraicos que mejor se adecúan a la gran mayoría de estos sistemas son los retículos residuados.Un \textsl{retículo residuado} [3] es un álgebra $(A,\vee,\wedge,\cdot,\to,1)$ de tipo $(2,2,2,2,0)$ tal que $(A,\wedge,\vee)$ es un retículo, $(A,\cdot,1)$ es un monoide y además vale la propiedad de residuación: $a\to b\geq c$ si y sólo si $a\cdot c\leq b$. Decimos además que \textsl{conmutativo} si el monoide lo es, e \textsl{integral} si $1$ es el elemento máximo del retículo. Los retículos residuados conmutativos e integrales forman una variedad a la que denotamos $\mathsf{CIRL}$.La porción inferior del retículo de subvariedades de retículos residuados generales fue estudiada en [2]. En este trabajo exploramos el retículo de subvariedades de $\mathsf{CIRL}$, concentrándonos en sus átomos y los cubrimientos de éstos, llamadas variedades \textsl{minimales} y \textsl{casi minimales}, respectivamente.En particular estudiamos las variedades finitamente generadas. Por un lado, la única variedad minimal finitamente generada es $\mathsf{GBA}$, de álgebras de Boole generalizadas. En el caso de variedades casi minimales, caracterizamos las finitamente generadas en términos de álgebras finitas y subdirectamente irreducibles llamadas \textsl{estrechas} y definidas en [1], que las generan (salvo dos excepciones). Proponemos métodos para construir cadenas estrechas de cualquier cardinalidad y observamos que existen álgebras estrechas que no son cadenas.En el caso de las no finitamente generadas, mostramos que existe una cantidad no numerable de cubrimientos de la variedad minimal $\mathsf{C}$ de retículos residuados cancelativos.