La Paradoja de Curry

PAILOS, FEDERICO MATÍAS

Paradojas, Paradojas y Más Paradojas

College Publications Ltd.

Lugar: Londres; Año: 2014; p. 41 - 52

La paradoja de Curry es un tipo de paradoja semántica en la que el condicional, y no la negación, juega el papel principal. Como la más conocida de las paradojas semánticas, la del Mentiroso, la paradoja de Curry desafía la teoría ingenua de la verdad, en la que el Esquema-T (Tr ("A") si y solo si A (para cualquier oración A)) tiene validez irrestricta. Intuitivamente, la paradoja surge de considerar una oración A que diga que si ella misma es verdadera, entonces B, donde debe reemplazarse "B" por cualquier oración. En particular, cualquier oración falsa, por ejemplo, "Papá Noel existe". Supongamos, que el antecedente es verdadero. Si lo es, podremos inferir por modus ponens que Papá Noel existe , y por tanto, por conditional proof, que si A es verdadera, entonces Papá Noel existe. Pero esta oración equivale a A, y por tanto podremos concluir que A, y de aquí, por el esquema-T, que A es verdadera. Pero de aquí, por modus ponens, podremos inferir que Papá Noel existe. Pero Papá Noel existe es una oración falsa. Si dispusiéramos de alguna lógica que invalidara el principio de explosión, podríamos evitar la trivialización del sistema. Pero, como se señala en Beall, J. C. (2001), B puede ser la oración Toda oración es verdadera. Y si dispusiéramos de algún tipo de principio de instanciación, podríamos probar toda oración. La versión formal de la paradoja requiere pocas cosas: que el lenguaje permita autorreferencia (por diagonalización o de modo más directo), la validez del esquema-T, y la validez de alguna versión del principio conocido como Pseudo Modus Ponens, o el principio de Contracción. Dado que el lenguaje permite oraciones autorreferenciales, obtendremos una oración que diga de sí misma que si es verdadera, entonces de ella se sigue una contradicción. En Beall, J. C. (2001), se llega a un resultado análogo usando Pseudo Modus Ponens en lugar de Contracción. Allí también se muestra cómo obtener una versión de la paradoja para conjuntos (usando el Esquema de Abstracción Ingenuo en lugar del Esquema-T) y para propiedades (usando un principio análogo al Esquema de Abstracción Ingenuo para propiedades). Sin embargo, como las soluciones habituales a esta paradoja suponen la introducción de algún nuevo tipo de condicional y/o el abandono de alguno de los principios problemáticos, y por tanto servirán también para solucionar las versiones conjuntística y la de propiedades de la paradoja de Curry, me concentraré en lo que sigue en la versión semántica habitual, la más frecuentada en la bibliografía. La paradoja de Curry, entonces, resulta particularmente apremiante porque puede formularse con presupuestos similares a los que permiten generar la paradoja del Mentiroso, pero el problema está en que una buena solución a esta última no necesariamente será una buena solución a la primera. Pero suele decirse que esta paradoja representa un problema particular para las teorías semánticas no clásicas, porque su solución constituye, en cierta medida, una victoria pírrica para ambas. En el caso de las teorías paracompletas, el costo va a ser no validar Identidad, y por tanto no validar irrestrictamente el esquema-T, formulado con el condicional material (en particular, en el caso de la oración de Curry, en el cuál el bicondicional necesariamente no tendrá un valor designado). En el caso de las teorías paraconsistentes, el costo será no validar el Modus Ponens. Esto es porque, en ambos casos, el condicional no es más que una disyunción del consecuente con la negación del antecedente. Así, toda instancia de Identidad será una instancia de tercero excluído, principio inválido en un sistema paracompleto. Dada la mencionada equivalencia, otra forma de expresar el Modus Ponens es con una disyunción de la negación del antecente y el consecuente. Basta sustituir a este último por una oración únicamente falsa, y al antecedente por una oración verdadera y falsa, para tener un contraejemplo al Modus Ponens en un sistema paraconsistente. El condicional material, por tanto, resulta particularmente insatisfactorio, dado que, o no validará el Modus Ponens, en el caso de las propuestas paraconsistentes, o no validará el principio de Identidad, en el caso de las teorías paracompletas. Los teóricos no-clásicos parecen verse en la necesidad de suplir a la teoría de un condicional apropiado. Pero, ¿qué condiciones debe cumplir un condicional para ser apropiado? Para Beall, J. C. (2001), un condicional de este tipo debe satisfacer los siguientes tres requisitos: (1) Validar Identidad; (2) Validar Modus Ponens (3) Evitar la paradoja de Curry. Para satisfacer el punto 3, el condicional en cuestión, deberá invalidar toda versión de los principios de Pseudo Modus Ponens y Contracción. Esto basta para descartar algunos candidatos tradicionales a condicional apropiado, incluidos algunos condicionales relevantes. Pero hay otros que parecen cumplir este objetivo. Presentaré solo dos, uno en un marco paracompleto, formulado por Field, H. (2008) y otro presentado por Priest, G. (2006ª) para una propuesta paraconsistente.