Álgebras de Semi-Heyting con implicación cerrada

JUAN MANUEL CORNEJO

Mar del Plata

Congreso; Reunión Anual de la UMA; 2009

Instituto de Matemática, Universidad Nacional del Sur

La variedad $\mathcal{SH}$ de las \'algebras de semi-Heyting fue introducida por Sankappanavar en [2] como una abstracci\'on de la variedad de las \'algebras de Heyting. Un \'algebra de semi-Heyting es un \'algebra de la forma $\mathbb{L} = \langle L,\vee, \wedge, \rightarrow, 0, 1\rangle$ tal que $\langle L, \vee, \wedge, 0, 1\rangle$ es un reticulado con 0 y 1 y se satisfacen las siguientes condiciones: \begin{enumerate} \item[(a)]$x \wedge (x \rightarrow y) \approx x \wedge y$, \item[(b)]$x \wedge (y \rightarrow z) \approx x \wedge [(x \wedge y) \rightarrow (x \wedge z)]$, \item[(c)]$x \rightarrow x \approx 1$. \end{enumerate} Las congruencias sobre las \'algebras de semi-Heyting est\'an determinadas por filtros. Si $\mathbb{L}$ es una \'algebra de semi-Heyting totalmente ordenada diremos que $\mathbb{L}$ es una cadena de semi-Heyting. Notaremos $\mathcal{CSH}$ la variedad generada por todas las cadenas de semi-Heyting. En [1] la subvariedad $\mathcal{CSH}$ fue foco de investigaci\'on. Continuando con esa l\'inea vamos a estudiar y definir una nueva subvariedad de $\mathcal{CSH}$. Un \'algebra de semi-Heyting $\mathbb{L} \in \mathcal{CSH}$ se dice un \'algebra de semi-Heyting con implicaci\'on cerrada si satisface la identidad: \[((x \wedge y) \leftrightarrow y) \vee ((x \to y) \leftrightarrow x) \vee ((x \to y) \leftrightarrow y) \vee (x \to y) \approx 1.\ \ \ \ (1)\] Las cadenas de Heyting satisfacen que si $x < y$ entonces $x \rightarrow y = 1$ as\'i como las cadenas de semi-Heyting conmutativas ($x \rightarrow y \approx y \rightarrow x$) satisfacen $x < y$ entonces $x \rightarrow y = x$. Esta nueva subvariedad introducida en el presente trabajo representa una generalizaci\'on para la variedad generada por este tipo de cadenas debido a que toda cadena de semi-Heyting que satisface la identidad (1) verifica la condici\'on $x < y$ entonces $x \rightarrow y \in \{x, y, 1\}$. Vamos a probar que esta variedad est\'a ge\-ne\-ra\-da por sus miembros (cadenas) finitos y estudiaremos diferentes propiedades de sus miembros finitos que la generan. \vskip 0.5cm \noindent [1] M. Abad, J.M. Cornejo and J.P. Diaz Varela, \emph{The variety generated by Semi-Heyting chains.}, enviado a publicar. \noindent [2] H.P. Sankappanavar, \emph{Semi-Heyting Algebras: An Abstraction From Heyting Algebras.} Actas del IX Congreso A. Monteiro, Bah\'{\i}a Blanca, 2007.