El grupo fundamental de los posets de p-subgrupos

KEVIN IVAN PITERMAN

La Falda, Córdoba

Encuentro; elENA - IX Encuentro Nacional de Álgebra; 2019

Dado un grupo finito G y un primo p que divide a su orden, consideramos los posets Sp(G) y Ap(G) de p-subgrupos no triviales y p-subgrupos elementales abelianos no triviales de G respectivamente. El estudio de estos posets comenzó en la década del 70 con los trabajos de K. Brown y D. Quillen, que analizaron sus propiedades homotópicas (por medio de los complejos simpliciales asociados a estos posets) en relación con propiedades algebraicas y cohomológicas de G. Quillen probó que los complejos simpliciales asociados a Sp(G) y Ap(G) son homotópicamente equivalentes y conjeturó que G tiene un p-subgrupo normal no trivial si y solo el complejo asociado a Sp(G) es contráctil. Esta conjetura permanece abierta, pero se han obtenido importantes avances a lo largo de las últimas décadas (las herramientas utilizadas en general combinan métodos relativamente sencillos de topología algebraica con la clasificación de los grupos simples).En general, el tipo homotópico de Ap(G) no se conoce. En un principio se conjeturaba que era siempre el de un bouquet de esferas. De hecho, Quillen probó que éste es el caso para ciertas familias de grupos. En el 2004, Shareshian probó que hay torsión en H_2(Ap(G)) para G = A_{13} (el grupo alterno en 13 letras) y p = 3, mostrando, con ese ejemplo, que estos complejos en general no son necesariamente bouquetes de esferas. Sin embargo, no se sabía qué sucedía con el grupo fundamental, el cual debería ser libre si fuera homotópico a un bouquet de esferas. De hecho, en todos los casos calculados, el grupo fundamental resultaba ser un grupo libre (incluso para el ejemplo G = A_{13} y p = 3 de Shareshian).En esta charla, veremos algunos resultados que hemos obtenido recientemente sobre el grupo fundamental de estos posets. Mostraremos que para G = A_{10} (el alterno en 10 letras) y p = 3, el grupo fundamental no es libre. Este es el primer ejemplo que se conoce de un poset de p-subgrupos con grupo fundamental no libre. Este ejemplo evidencia que la falla a ser un bouquet de esferas también puede provenir del grupo fundamental (y no de la homología). De hecho, la homología de Ap(G) para G = A_{10} y p = 3, es libre. Veremos también que la obstrucción a que estos pi_1 sean libres proviene esencialmente de los grupos simples. Concretamente, veremos que pi_1(Ap(G)) = pi_1(Ap(S_G)) * F, donde F es un grupo libre, S_G es un cociente de G, y además pi_1(Ap(S_G)) es libre o bien S_G es una extensión de un grupo simple por automorfismos externos. También veremos que en la "mayoría de los casos", el pi_1 sí es libre, como por ejemplo en los grupos resolubles.