Modelado de redes biologicas con algebras multivaluadas

MERCEDES PEREZ MILLÁN; GARCÍA GALOFRE, JULIANA; ALICIA DICKENSTEIN

Buenos Aires

Congreso; RSME-UMA 2017; 2017

Las redes de interacciones biologicas, como las redes de regulacion genica, han sido estudiadasexitosamente mediante modelos matematicos tanto continuos como discretos (especialmente Booleanos) [AO,CTG,M,VCS]. La concentracion de cada gen/especie quımica (?especie?) seindica con una variable x_i que varía ́en el tiempo y que en los modelos discretos, puede tomar finitos valores. Considerando una discretizacion del tiempo y n especies, el comportamientode toda la red esta ́ dado entonces por una funcion F = (f1 , . . . , fn ) y, si la actualizacion essincronica, las iteraciones de F describen la dinamica de la red. El comportamiento asintotico deestas redes es de gran interes, en particular la descripcion de los estados de equilibrio F (x) = x.Los modelos Booleanos se han utilizado extensamente y han sido muy utiles para estudiar sistemas donde lo que abunda es la informacion cualitativa y no tanto la cuantitativa. Sin embargo, presentan varias limitaciones al solo permitir dos estados posibles para las concentracionesde las especies. Por otro lado, los modelos multivaluados que se han usado hasta el momento expresan la dinamica, artificialmente, por medio de ecuaciones polinomiales sobre cuerposfinitos. En este trabajo abordamos el modelado discreto de redes biologicas tomando las concentraciones de las especies dentro de un conjunto finito X = {0, m , . . . , m−1 , 1} para m ∈ Nfijo (con m arbitrario). Las operaciones que consideramos son neg, ⊕ y(neg(x) = 1 − x,x ⊕ y = min{1, x + y}, x y = max{0, x + y − 1}), que provienen de la logica matematica[C] y se ajustan mejor a la interpretacion biologica. Nuestro enfoque abre el camino a nuevosmetodos algebraicos y combinatorios.Demostramos que cualquier funcion f : X n −→ X con variables x1 , . . . , xn , es expresable enterminos de ⊕, , neg y funciones constantes, de tal manera que su grafo de dependencia tengagraficamente la misma informacion que f . Si bien es necesario ampliar la cantidad de variables,demostramos que el grado no aumenta para ningun vertice del grafo de dependencia. Este es unpar ́metro que controla heurısticamente la complejidad de los calculos con bases de Grobner.Por otro lado, este aumento en la cantidad de variables conserva la informacion de los puntos fijos. El proximo paso sera refinar la determinacion de los puntos fijos por medio de metodos tropicales.