Complejos de funciones de Morse discretas

CAPITELLI, NICOLÁS

Ciudad de Buenos Aires

Congreso; RSME-UMA 2017; 2017

Unión Matemática Argentina y Real Sociedad de Matemática Española

La teoría de Morse discreta es una muy potente herramienta combinatoria introducida por Forman para estudiar la topología de los complejos simpliciales. De manera análoga a lo que sucede en la teoría de Morse (clásica) sobre variedades diferenciables, las funciones de Morse combinatorias codifican deformaciones (discretas) entre los conjuntos de nivel de los complejos simpliciales y permiten obtener información del tipo homotópico de los poliedros que triangulan.En 2005, Chari y Joswig introdujeron el "Complejo de funciones de Morse discretas" M(K) de un complejo simplicial finito K - un análogo al espacio de campos vectoriales sobre una variedad diferenciable - extendiendo una construcción previa de Kozlov sobre complejos asociados a grafos dirigidos. El espacio M(K)$ es el complejo de todas las funciones de Morse combinatorias sobre K y tiene, en general, una muy elevada complejidad estructural. Debido a esto, sólo se conocen resultados sobre complejos asociados a grafos muy particulares o a espacios muy sencillos, como símplices de bajas dimensiones. Recientemente, Minian y el autor establecieron uno de los resultados más generales sobre los complejos de funciones de Morse discretas: el espacio M(K) determina unívocamente al complejo K. En esta charla, contaremos la construcción del complejo de funciones de Morse discretas, exhibiremos algunas de las propiedades de estos espacios y presentaremos el resultado establecido en el artículo arriba mencionado.