Vuelos de Lévy y laplacianos fraccionarios

JUAN PABLO BORTHAGARAY

Encuentro; 5to Coloquio Uruguayo de Matemática; 2015

Vamos a mostrar c´omo a partir de un paseo al azar con saltos en $mathbb{R}^n$ (llamado vuelo de L´evy), es posible obtener un operador que es una potencia fraccionaria del operador de Laplace. Este operador es no-local, y comparte algunas propiedades deseables del laplaciano cl´asico; en los ´ultimos años ha ganado mucho inter´es, especialmente a partir de que Caffarelli y Silvestre mostraron c´omo puede ser entendido como un operador singular o degenerado en $mathbb{R}^{n+1}_+$.Despu´es de motivar la definici´on del laplaciano fraccionario en todo el espacio, en esta charla vamos a comentar dos enfoques distintos que se pueden adoptar para definirlo sobre dominios acotados, qu´e propiedades del operador en $mathbb{R}^n$ preservan cada uno y algunos aspectos anal´iticos que surgen de estas diferencias.