Densidad de funciones holomorfas que alcanzan la norma en el bidual

DANIEL CARANDO; MARTIN MAZZITELLI

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2013

E. Bishop y R. Phelps demostraron en cite{BP} que para cualquier espacio de Banach $X$, el conjunto de las funcionales lineales y acotadas que alcanzan su norma es un subconjunto denso en $X^*$, el espacio dual de $X$. Este resultado dio lugar al estudio de funciones que alcanzan la norma. En cite{Lind}, Lindenstrauss mostr´o que no es posible extender el teorema de Bishop-Phelps al espacio de operadores lineales y acotados $mathcal{L}(X,Y)$ entre dos espacios de Banach cualesquiera. Tambi´en prob´o que el conjunto de operadores lineales cuyos bitranspuestos alcanzan la norma, es denso en $mathcal{L}(X,Y)$. Posteriormente, esto fue extendido al caso multilineal cite{AGM} y, bajo ciertas hip´otesis, al caso polinomial homog´eneo cite{ArGM}, cite{CaLaMa12}. En este ´ultimo trabajo, se demostr´o que para ciertos espacios de Banach $X$, el conjunto de polinomios $N$-homog´eneos en $mathcal{P}(^NX;Y^*)$ cuya extensi´on de Aron-Berner alcanza la norma, es denso en $mathcal{P}(^NX;Y^*)$. En esta charla mostraremos que, bajo las mismas hip´otesis sobre el espacio $X$, el resultado para polinomios homog´eneos obtenido en cite{CaLaMa12} puede extenderse al espacio de polinomios no homog´eneos. Como corolario, obtendremos un teorema de Lindenstrauss para el espacio $mathcal{A}_u(X;Y^*)$ de funciones uniformemente continuas en la bola cerrada $B_X$ y holomorfas en la bola abierta $B_X^{circ}$ a valores en un espacio dual $Y^*$. Veremos, adem´as, algunos ejemplos de espacios $X$ para los cuales no se verifica un teorema del tipo Bishop-Phelps polinomial/holomorfo, pero s´i se aplica nuestro resultado.