Implicaciones del teorema de Gödel en ciencias

OSVALDO M. MORESCHI

La Falda, Argentina

Jornada; XVI Jornadas de Epistemología e Historia de la Ciencia; 2005

El teorema de Kurt Gödel ha causado gran influencia en la manera en que se entiende los sistemas formales matemáticos. En esta ocasión deseamos estudiar las implicasiones del teorema en las otras ciencias. David Hilbert tenía la idea de que se debía eliminar de la matemática toda clase de imprecisión y ambigüedad del lenguaje natural y del razonamiento intuitivo. La idea era crear un lenguaje para la matemática, donde las reglas fuesen tan precisas que no habría inserteza en asegurar si una proposición era verdadera o falsa. Entonces partiendo de un conjunto de axiomas uno debería ser capaz de probar en uno u otro sentido cualquier proposición en el lenguaje. El teorema al que nos referimos fue publicado en 1931 por Kurt Gödel en el artículo con título: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und vewandter Systeme I", en Monatshefte für Mathematik und Physik, Volume 38, pp. 173-198 (Leipzig: 1931). La traducción al inglés de este título es: "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I". Uno podría cree que este teorema se conozca como `el teorema de indecisión´ o `teore- ma de indeterminación´; pero en realidad frecuentemente se refiere a él como `teorema de incompletitud´. Esto en parte se debe que las consecuencias del teorema son múltiples. Gödel se basó en el trabajo de A. Whitehead y B. Russell, Principia Mathematica, 2nd edition, Cambridge 1925. La pregunta que estudió Gödel es si dado un sistema formal basado en axiomas y reglas de inferencia era posible decidir, o determinar, todas las preguntas matemáticas que pudiesen ser expresadas dentro del formalismo. Su artículo da una respuesta negativa. Se adjudica a Turing ser el primero que trabajó en teoría de la computación. Turing ideó un modelo de una computadora, ahora llamada la `máquina de Turing´, capaz de ejecutar programas arbitrarios. Esto lo realizó antes de que se construyese una computadora. En 1936, Turing encuentra que no existe un algoritmo que determine con antelación si otra computadora terminará su cálculo. Esto se entiende como que existen cosas muy sencillas que no son computables. Turing además deduce que no hay forma de usar un sistema axiomático formal para establecer esta cuestión. Existe una relación entre los resultados de Gödel y Turing. Es interesante la forma en que Gregory J. Chaitin expresa el teorema de Gödel. Usando argumentos de teoría de información, Chaitin encuentra que si un teorema contienen más información que un dado conjunto de axiomas, entonces es imposible que se deduzca el teorema de los axiomas. De aquí deduce que el fenómeno de incompletitud descubierto por Gödel es natural y extendido en vez de patológico e inusual. La parte fundamental del trabajo consistirá en estudiar implicaciones del teorema de Gödel en ciencias; en particular en las ciencias naturales. Argumentaremos que pareciese que no se ha tomado debida cuenta en la comunidad de estas implicaciones. Estudiaremos algunos casos puntuales pero también nos referiremos a cuestiones generales. Mencionaremos también posibles implicaciones en ciencias sociales.