An inhomogeneous minimization problem for the p(x)-Laplacian with free boundary

LEDERMAN, CLAUDIA; WOLANSKI, NOEMÍ

Matemática Aplicada Computacional e Industrial

Asociación Argentina de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial

Lugar: Santa Fé; Año: 2015 vol. 5 p. 321 - 324

2314-3282

We  present  results  for  the  problem  of  minimizing  $\displaystyle\int_\Omega\Big(\frac{|\nabla v|^{p_{\varepsilon}(x)}}{p_{\varepsilon}(x)}+B_{\varepsilon}(v)+f^{{\varepsilon}}v\Big)\, dx$  in  the  class  of  functions  $v\in W^{1,p_{\varepsilon}(\cdot)}(\Omega)$ with $v-\phi_\varepsilon \in W_0^{1,p_{\varepsilon}(\cdot)}(\Omega)$. Here $B_\varepsilon(s)=\int_0^s\beta_\varepsilon(\tau)\,d\tau$, $\varepsilon>0$, ${\beta}_{\varepsilon}(s)={1 \over \varepsilon} \beta({s \over \varepsilon})$,  with  $\beta$   a  Lipschitz   function  satisfying $\beta>0$  in  $(0,1)$,  $\beta\equiv 0$  outside  $(0,1)$.  We  prove  that  if  ${u^\varepsilon}$  are  nonnegative  local  minimizers  and  the  functions ${u^\varepsilon}$,  $f^{{\varepsilon}}$  and  $p_\varepsilon$  are  uniformly  bounded  then, $u=\lim{u^\varepsilon}$ ($\varepsilon\to 0$)  is  a solution  to  an  inhomogeneous  free  boundary  problem  for  the $p(x)$-Laplacian  and  the  free  boundary  $\Omega\cap\partial\{u>0\}$ is  a  $C^{1,\alpha}$  surface   with  the  exception  of  a  subset  of ${\mathcal H}^{N-1}$-measure  zero.  We  also  obtain  further  regularity   results  on  the  free  boundary,  under  further  regularity  assumptions  on  the   data.