Marcos de fusión óptimos

MASSEY, PEDRO; RUIZ, MARIANO; STOJANOFF, DEMETRIO

Mar del Plata

Congreso; LIX Reunion Anual de la U.M.A.; 2009

Unión Matemática Argentina

La teor\'\i a de marcos en espacios de Hilbert se ha extendido recientemente al contexto de los llamados Marcos de Fusi\'on (MF). Concretamente, dado un espacio de Hilbert $H$, una familia $\mathcal F=\{(P_i,w_i)\}_{i\in I}$ donde $P_i\in B(H)$ es proyecci\'on ortogonal y $w_i\geq 0$ $\forall i$, es un MF para $H$ si existen $A,\,B>0$ con $$ A\cdot \|v\|^2\leq \sum_{i\in I} w_i^2 \, \|P_i \,v\|^2 \leq B\cdot \|v\|^2\, ,\ \ \forall v\in H.$$Consideramos el caso particular $H=\mathbb C^n$ y $I=\{1,\ldots,m\}$, de forma que la ecuaci\'on anterior es equivalente al hecho de que $\|P_i v\|=0$ para $i=1,\ldots,m$ implica que $v=0$. Los MF $\mathcal F=\{(P_i,w_i)\}_{i=1}^m$ en $\mathbb C^n$ son de inter\'es ya que permiten el desarrollo de un esquema de codificaci\'on-decodificaci\'on natural: $v$ se codifica mediante la sucesi\'on de ``coeficientes'' $\{v_i=w_i\,P_i v\}_{i=1}^m$ y  se decodifica como $v=\sum_{i=1}^m S^{-1} v_i$, donde $S=\sum_{i=1}^m w_i\, P_i$ es operador en $\mathbb C^n$ que resulta inversible. En esta charla describimos la estructura de los MF que son \'optimos para la reconstrucci\'on ``ciega'' de vectores $v$ suponiendo que en la sucesi\'on de coeficientes $\{v_i\}$ se pierden un (resp. dos) coeficiente. M\'as precisamente, describimos los MF que minimizan$$\max_{\|v\|_{\mathbb C^n}=1,\ \{\tilde v_i\}} \|v-\sum_{i=1}^m S^{-1} \tilde v_i\|$$ donde $\{\tilde v_i\}$ es una sucesi\'on de coeficientes perturbada por la p\'erdida de un (resp. dos) coeficiente y $\|\cdot\|$ es una norma unitariamente invariante. Adem\'as presentamos condiciones que caracterizan la existencia de tales MF y mostramos casos en donde estos MF \'optimos no existen. Finalmente, mostramos que los MF \'optimos en el sentido anterior minimizan un funcional convexo que llamamos potencial de MF (PMF). Esto sugiere estudiar, en general, los minimizantes de este potencial: describimos algunos aspectos de su estructura.