El teorema de Schur-Horn en factores semifinitos

PEDRO MASSEY; MARTIN ARGERAMI

Tandil

Congreso; ", LX Reunion Anual de la U.M.A.; 2010

Unión Matemática Argentina

Recordemos que dados $x,\,y\in\mathbb R^n$ decimos que $x$ est\'a mayorizado por $y$, notado $x\prec y$, si $\sum_{i=1}^k x^\downarrow _i\leq \sum_{i=1}^k y^\downarrow _i $ para $1\leq k\leq n-1$ y $\sum_{i=1}^n x_i=\sum_{i=1}^n y_i$, donde $x^\downarrow\in \mathbb R^n$ es el vector que se obtiene de reordenar las entradas de $x$ en forma decreciente. Sea $\mathcal C_\mathcal D(X)\in \mathbb R^n$ la diagonal principal de $X\in \mathcal M_n(\mathbb C)$ y sea $A\in \mathcal M_n(\mathbb C)$ matriz positiva. Entonces el teorema de Schur-Horn establece la identidad $$\{\ \mathcal C_\mathcal D(U^*A\,U):\ U\in \mathcal M_n(\mathbb C),\ U^*U=I\} = \{x\in \mathbb R^n :\ x\prec \lambda(A)\} $$ donde $\lambda(A)\in \mathbb R^n$ denota el vector de autovalores de $A$ contando sus multiplicidades. Este resultado del an\'alisis matricial es una de las caracterizaciones m\'as \'utiles de la relaci\'on de mayorizaci\'on.  El teorema de Schur-Horn se ha extendido al contexto de factores infinitos discretos y factores finitos continuos por A. Neumann (caso discreto) y M. Argerami y P.M. (caso continuo) en el siguiente sentido: sea $\mathcal A$ una subalgebra abeliana maximal (masa) de un factor $\mathcal M$ de tipo I$_\infty$ \'o tipo II$_1$ ($\mathcal A$ discreta en el caso I$_\infty$) y sea $\mathcal E_\mathcal A$ la esperanza condicional que preserva la traza sobre $\mathcal A$.  Si $b\in \mathcal M$ es operador positivo entonces  \overline{\{\ \mathcal E_\mathcal A(u^* b\,u):\ u\in \mathcal U(\mathcal M)\}}^\mathcal T=\{a\in \mathcal A^+:\ a\prec b\}                       (*)donde $\mathcal T$ es la llamada topolog\'\i a de la medida en $\mathcal M$, $U(\mathcal M)$ es el grupo unitario de $\mathcal M$, y la relaci\'on $a\prec b$ es una extensi\'on natural de la mayorizaci\'on al contexto de operadores en estos factores.En esta charla se mencionar\'an algunas herramientas que permiten extender la noci\'on de mayorizaci\'on y considerar un teorema de tipo Schur-Horn en el caso de los factores de tipo continuo semi-finito (infinitos) llamados factores de tipo II$_\infty$. La expresi\'on de este resultado es formalmente an\'aloga a las extensiones $(*)$ previamente mencionadas.