Metrización de Frink para grafos con aristas ponderadas

ACOSTA, MARÍA FLORENCIA; AIMAR, HUGO; GÓMEZ, IVANA

Argentina (virtual)

Congreso; Reunión Anual UMA. LXIX Reunió Anual de Comunicaciones Científicas; 2020

Unión Matemática Argentina

La construcción de métricas en conjuntos de datos es un problema de interés actual en el análisis de datos. Estas métricas construidas sobre un conjunto de datos dado deben reflejar, en forma cuantitativa, la afinidad de los diferentes puntos. En particular, métricas adecuadas proporcionan nociones de vecindad de un punto dado que no son proporcionados a priori directamente por la afinidad. En [CL06], Coifman y Lafon proponen un método de metrización de métricas difusivas, a partir de un operador de tipo Laplace utilizando la matriz de afinidad entre los datos. El análisis espectral de este operadorproporciona un núcleo de difusión que brinda una familia de métricas en el conjunto de datos para diferentes valores temporales. En particular, el estudio de los valores propios del operador permite la detección de sus principales características y, por tanto, esto permite aproximar, en cierto sentido, un espacio de alta dimensión por otro espacio de menor dimensión. En matemática pura el problema de la metrización de los espacios topológicos generales es antiguo y bien conocido. En particular, la metrización de la topología inducida sobre un conjunto X por uniformidad en XxX se consideró y resolvió en [Fri37], cuando la estructura uniforme tiene una base numerable. El resultado es que una topología inducida por una estructura uniforme es metrizable si y solo si la uniformidad  tiene una base numerable. Incluso cuando así se indica, los resultados parecen tener un carácter cualitativo, su prueba conlleva un lema cuantitativo gracias a Frink que permite obtener una métrica de la afinidad que atraviesa la estructura uniforme inducida por la afinidad entre los puntos de datos. Probamos un resultado como consecuencia del Lema de Frink, enunciado y demostrado en [Kel75], el cual nos permite proporcionar, probar y comparar un algoritmo explícito con el n de obtener una métrica d(x; y) entre los vértices x e y asociados a un grafo con aristas ponderadas por afinidad. En este trabajo se describe el algoritmo para el caso de X finito y se prueba y compara el algoritmo en algunos grafos con aristas ponderadas especiales.