Equivalencia natural entre MV-álgebras monádicas y $\ell$-grupos monádicos con unidad fuerte

CIMADAMORE CECILIA; DÍAZ VARELA JOSÉ PATRICIO

Tandil

Congreso; Renión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2010

Universidad Nacional del Centro

Mundici definió el funtor $Gamma$ de la categoría de los l-grupos abelianos a la categoría de las MV-álgebras, y estableció una equivalencia natural entre MV-álgebras y l-grupos con unidad fuerte de orden. Anteriormente, Chang había asociado un grupo abeliano a una MV-álgebra pero su trabajo se restringía al caso totalmente ordenado. En este trabajo definimos el concepto de l-grupo monádico, esto es un l-grupo (abeliano) G enriquecido con un operador unario $exists: G o G$ que satisface ciertos axiomas. Nuestro resultado principal consiste en una equivalencia entre la categoría de los l-grupos monádicos y la categoría de las MV-álgebras monádicas. Estas álgebras fueron definidas por Rutledge en su tesis doctoral(1959). La equivalencia obtenida extiende la equivalencia determinada por el funtor $Gamma$ para las MV-álgebras. También estudiamos las congruencias de un l-grupo monádico y las caracterizamos por medio de ciertos l-ideales que hemos llamado l-ideales monádicos. Probamos que el retículo de l-ideales monádicos de un l-grupo monádico G es isomorfo al retículo de l-ideales de $exists G$. Demostramos además que todo l-grupo monádico es producto subdirecto de una familia de l-grupos monádicos ${G_i: iin I}$ donde $exists G_i$ es una cadena para todo $iin I$. Por último, damos algunas aplicaciones de la equivalencia obtenida. Entre ellas, demostramos que si $G$ es un l-grupo monádico con unidad fuerte de orden u, y consideramos la MV-álgebra monádica cuyo universo es el segmento $[0, u]$ entonces existe un isomorfismo de orden entre el conjunto de los ideales monádicos del álgebra y el conjunto de los l-ideales monádicos de $mathbf G$, ambos ordenados por inclusión.