Pseudobialgebras

C. BOYALLIAN Y J. LIBERATI

Cordoba

Congreso; Reunion anual de la Union Matematica Argentina; 2007

UMA

La parte singular del OPE (operator product expansion)  en la teor´i a de campos conformes,   codifica las relaciones de conmutaci´on de campos, que conduce a la definici´on de  ´algebras de Lie conformes. Estas son, simplemente,  un $mathbb{C}[partial ]$-m´odulo, munido de una cantidad infinita de productos bilineales (sobre los n´umeros complejos), parametrizados por los  enteros positivos,  que satisface un sistema de identidades, ( ver [K]). En  [BD],  Beilinson y Drinfeld muestran que las ´algebras de Lie conformes  pueden ser vistas como  ´algebras de Lie en ciertas categor´i as pseudotensoriales y que son un ejemplo unidimesional de lo que ellos llaman $C^*$-´algebras. Inspirados en  esto, Bakalov, D´Andrea y Kac, [BDK], desarrollan la teor´i a de ´algebras de Lie conformes multidimensionales, llamadas pseudoalgebras,  donde la estructura de  $mathbb{C}[partial ]$-m´odulo es reemplazada por una estructura de $H$-m´odulo, con $H$ un ´algebra de Hopf  coconmutativa. En este trabajo,  dualizamos la noci´on de pseudo´algebra, lo cual permite clarificar la teor´i a de estos objetos.  Defimos las pseudobialgebra  de Lie y  obtenemos pseudo-an´alogos  de los triples de Manin, el doble de Drinfeld y la ecuaci´on cl´asica de Yang-Baxter. Adem´as,  se tiene una descripci´on natural del ´algebra de Lie asociada a una pseudoalgebra, que es central en el estudio de la teor´i a de representaciones, como un ´algebra de funciones con un producto de convoluci´on. La versi´on conforme de estos resultados fueron obtenidos en [L]. skip 2cm [BD] A. Beilinson and V. Drinfeld, extit{Chiral algebras}, AMS, (2004) [BDK]  B. Bakalov, A. D´Andrea and V. Kac, extit{Theory of finite pseudoalgebras}, Adv. Math. extbf{162}, (2001) 1-140. [K] V. Kac; extit{Vertex algebras for beginners} (Second edition), American Mathematical Society (1998). [L] J. Liberati, extit{On conformal bialgebras}, preprint (2006).