Derivación fraccionaria asociada al operador de Schrödingeren espacios Lipschitz pesados

PABLO QUIJANO; ELEONOR HARBOURE; BRUNO BONGIOANNI

virtual

Congreso; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2020

Unión Matemática Argentina

Sea $L=-\Delta + V$, un operador de Schr\"odinger , en $\mathbb{R}^d$ para $d\geq 3$ con el potencial $V$ en una clase H\"older inversa de orden $q$ para $q>d/2$. A partir del trabajo de Z. Shen del año 1995 (\cite{Shen}), se han obtenido diversos resultados sobre la acotaci\'on operadores asociados a $L$ en diversos espacios de tama\~no y regularidad. Si $\beta> 0$ y $w$ un peso, siguiendo~\cite{BmoLpw}, definimos elespacio $\Lambda^\beta_{L}(w)$ como el conjunto de las funciones localmente integrables $f$ que satisfacen\begin{equation}\label{CondTam}|f(x)|\leq C W_{\beta}(x, \rho(x))\end{equation}y\begin{equation}\label{CondSuav}|f(x)-f(z)|\leq C[W_{\beta}(x, |x-z|)+W_{\beta}(z,|x-z|)]\end{equation}para todo $x,\,z \in \mathbb{R}^d$ tales que $|x-z|\leq \rho(x)$. Donde\begin{equation}W_{\beta}(x,r)=\int_{B(x,r)} \frac{w(u)}{|u-x|^{d-\beta}}du,\end{equation} y $\rho$ es la funci\'on de radio cr\'itico definida por$$\rho(x)=\sup\left\{r>0:\ \frac{1}{r^{d-2}}\int_{B(x,r)} V \leq 1\right\}.$$En este contexto, consideramos algunos operadores de derivación fraccionaria no local y estudiamos su comportamiento en los espacios $\Lambda_L^\beta(w)$. En particular, obtenemos resultados de acotación para potencias positivas de $L$ extendiendo algunos resultados dados en~\cite{MSTZ-Reg}.Además, estudiamos operadores mixtos de la forma $L^{\alpha/2}V^{\sigma/2}$ y $L^{-\alpha/2}V^{\sigma/2}$ con $\sigma>\alpha$, junto con sus adjuntos.