Contraparte probabilística de difusiones fraccionarias diádicas

MORANA, FEDERICO; GÓMEZ, IVANA; AIMAR, HUGO

Bahía Blanca, Buenos Aires

Congreso; Reunión Anual de la UMA - LXV Reunión de Comunicaciones Científicas; 2016

Unión Matemática Argentina

El propósito de este trabajo es doble. En primer lugar obtener límites centrales para procesos de Markov asociados a núcleos (matrices) de Markov diádicos (sólo dependen de la distancia diádica). En segundo lugar construir un enfoque probabilístico para las difusiones diádicas fraccionarias consideradas en [AA]. Por simplicidad trabajaremos en $mathbb{R}^+$ y con orden de diferenciación fraccionaria $s=1/2$. La distancia diádica en $mathbb{R}^+$ está dada por $delta(x,y)=min{|I|: xin I, yin I, I in mathscr D}$ donde $mathscr D$ es la familia de los intervalos diádicos de $mathbb{R}^+$. Sea $Phi = {arphi:mathbb{R}^+omathbb{R}^+_0  no crecientes tales que int_{mathbb{R}^+} arphi(delta(x,y)),dy = 1ext{ para todo x}}$ y sea $mathscr K = { K=K(x,y)=arphicircdelta(x,y): arphiinPhi }$ la clase de los núcleos de Markov con perfiles $arphiinPhi$. Dado n un número natural, denotamos con $K^n$ el núcleo de Markov que se obtiene iterando $K$ $n$ veces; $K^n(x,y) = idotsint K(x,z_1)K(z_1,z_2)dots K(z_{n-1},y) ; dz_1 dots dz_{n-1}$. Un subíndice entero en el núcleo $K$, $K_m$, consiste en la molificación de $K$ dada por $K_m(x,y) = mK(mx,my)$ (que preserva la clase de núcleos cuando m es una potencia de 2). Una simple comparación con el caso usual del Teorema del Límite Central, en el que el núcleo está dado por la convolución $n$ veces de la distribución de la variable aleatoria inicial, y atendiendo a que el orden de diferenciación es $1/2$, sugiere que la sucesión adecuada para esperar un límite central sea $K^{2^j}_{4^j}=K^{2^j}_{(2^j)^2}$. Sea $sigma>0$. Sea $Phi^{1/2}(sigma) = {arphiinPhi: lim_{jo+infty} 2^{rac{3}{2}j}arphi(2^j) = sigma }$.El resultado principal se resume en el siguiente enunciado. Su prueba se basa en la teoría de wavelets de Haar, que constituyen las autofunciones para una teoría espectral de todos los operadores involucrados.Teorema:A)  Sean $arphiinPhi^{1/2}(sigma)$ y $K in mathscr{K}$ el núcleo asociado. Entonces, cuando j tiende a infinito, la sucesión de núcleos de Markov $K^{2^j}_{4^j}$ converge débilmente a un núcleo de Markov, que no depende del perfil $arphiinPhi^{1/2}(sigma)$, y denotamos por $K_{infty}(x,y;sigma)$, para registrar el parámetro (``varianza") $sigma$ del núcleo $K$ original. B)  Con $K_{infty}$ como en (A) se tiene que para $fin L^p(mathbb{R}^+) (1<p<infty)$ la función $u(x,t) = int_{mathbb{R}^+} K_{infty}(x,y;(rac{5}{2}sqrt{2}-2)t)f(y),dy$ resuelve el problema de valor inicial [ left{egin{array}{cl}rac{partial u}{partial t}(x,t) = D^{1/2}_xu(x,t) & extrm{si} x > 0 ext{y} t > 0,u(x,0) = f(x) & extrm{si} x > 0,space{-3pt}end{array}ight. ]donde $D^{1/2}_xg(x) = int_{mathbb{R}^+} rac{g(x)-g(y)}{delta(x,y)^{3/2}},dy$, y el valor inicial $f(x)$ se verifica puntualmente en c.t.p.Referencias:[AA]  M. Actis, H. Aimar, ``Dyadic non local diffusion in metric measure spaces". Fract. Calc. Appl. Anal., vol. 18, nº 3, p. 762-788, 2015.