Difusiones como límites de caminatas aleatorias en tiempo continuo. Teoría Lp

AIMAR, HUGO; BELTRITTI, GASTÓN; GOMEZ, IVANA

Santa Fe

Congreso; Reunión Anual de la UMA - LXIV Reunión de Comunicaciones Científicas; 2015

Unión Matemática Argentina

En este trabajo mostraremos resultados de existencia y convergencia con dato inicial en  $L^p$ del problemaegin{equation*}P(J,f)left{egin{array}{cc} u(x,t)=(Jast e(u))(x,t), xinmathbb{R}^{n}, tgeq 0e(u)(x,t)= left{egin{array}{ccc}&f(x),  & t<0&u(x,t),  & tgeq 0.end{array}ight.end{array}ight.end{equation*}Teorema 1. Sea $1leq p<infty$, $fin L^p(mathbb{R}^n)$, y $Jgeq 0$, $extrm{sop} Jsubset {(x,t): xin mathbb{R}^n, tgeq 0}$, $J$ de soporte compacto, $Jin L^1(mathbb{R}^{n+1})$ con $iint_{mathbb{R}^{n+1}} J dx dt=1$. Entonces existe una única $u$ en $(mathcal{C}igcap L^infty)([0,infty);L^p(mathbb{R}^n))$ que resuelve $P(J,f)$.Teorema 2. Sea $H$ un núcleo de la fórmula de valor medio para temperaturas. Sea $alpha=sup{gamma: iint_{sleqgamma}J(y,s)dyds<1}$. Sea $fin L^p(mathbb{R}^n)$ con $1leq p<infty$. Para $r>0$ consideramos $uin (mathcal{C}igcap L^infty)([0,infty);L^p(mathbb{R}^n))$ solución del problema $P(pi_rH,f)$ donde $pi_r$ es la dilataci´{o}n parabólica, y $v$ solución de $v_t=riangle v$ en $mathbb{R}^nimes [0,infty)$ que se obtiene convolucionando $f$ con el núcleo de Weiestrass. Entoncesegin{equation*}lim_{ro 0}sup_{tin [0,alpha r^2]}|u(x,t)-v(x,t)|_{L^p(mathbb{R}^n)}=0.end{equation*}Si adem´{a}s, $f$ pertenece al espacio de Besov $B^{lambda}_{p}(mathbb{R}^n)$, $0<lambdaleq 1$, existe una constante $C>0$ tal que para todo $r>0$ se cumpleegin{equation*}|u(x,t)-v(x,t)|_{L^p(mathbb{R}^n)}leq C [f]_{B^{lambda}_{p}(mathbb{R}^n)} r^{lambda}end{equation*}para $tin [0,alpha r^2]$ y donde $[f]_{B^{lambda}_{p}(mathbb{R}^n)}$ es la seminorma Besov.Referencias.[1] H. Aimar, G. Beltritti, and I. Gomez, Continuous time random walks and the Cauchy problem for the heat equation, Journal d´Analyse Math´{e}matique.[2] C. Cortazar, M. Elgueta, and J.~D. Rossi, Nonlocal diffusion  problems that approximate the heat equation with {D}irichlet boundary  conditions, Israel J. Math. extbf{170} (2009), 53--60.[3] C. Cortazar, M. Elgueta, J.~D. Rossi, and N. Wolanski, emph{How  to approximate the heat equation with {N}eumann boundary conditions by  nonlocal diffusion problems}, Arch. Ration. Mech. Anal. extbf{187} (2008),  no.~1, 137--156.