Relación entre conjuntos fuente y órdenes de convergencia para Métodos de Regularización Espectrales

SPIES, RUBÉN D; TEMPERINI, KARINA G

FAMAF, Universidad Nacional de Córdoba

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina, LVI Reunión de Comunicaciones Científicas; 2007

Unión Matemática Argentina

Sea T : X ! Y un operador lineal y acotado con rango no cerrado, donde X y Y son espacios de Hilbert de dimensión infinita. Bajo estas condiciones la ecuación Tx = y es mal condicionada en el sentido que T† ,la inversa generalizada de Moore-Penrose de T, no es acotada. Es bien sabido que para problemas mal condicionados no es posible reconstruir la solución exacta T†y con ning´un grado de precisión a menos que se disponga de información adicional a-priori sobre la misma. Dada esta información, puede ser deseable conocer el mejor orden de convergencia del error de regularización como función del parámetro de regularización, que se pueda obtener con un método de regularización bajo esos supuestos a-priori. Recíprocamente, dado un orden de convergencia, puede ser de interés determinar la posible existencia de “conjuntos fuente” sobre los cuales un método de regularización alcanza dicho orden de convergencia. Estos problemas est´an fuertemente relacionados con el concepto de calificación de un método de regularización espectral. En este trabajo, la definici´on de calificaci´on es extendida y se introducen tres niveles diferentes de este concepto: débil, fuerte y óptimo. Se muestra que la calificación débil extiende la definición introducida por Mathé y Pereverzev, principalmente en el sentido que las funciones asociadas a órdenes de convergencia y conjuntos fuente no necesariamente son las mismas. Se dar´an varios ejemplos que ilustran los niveles de calificación, las relaciones entre los mismos y con el concepto de calificación introducido en 2003 por P. Mathé y S. V. Pereverzev.T : X ! Y un operador lineal y acotado con rango no cerrado, donde X y Y son espacios de Hilbert de dimensión infinita. Bajo estas condiciones la ecuación Tx = y es mal condicionada en el sentido que T† ,la inversa generalizada de Moore-Penrose de T, no es acotada. Es bien sabido que para problemas mal condicionados no es posible reconstruir la solución exacta T†y con ning´un grado de precisión a menos que se disponga de información adicional a-priori sobre la misma. Dada esta información, puede ser deseable conocer el mejor orden de convergencia del error de regularización como función del parámetro de regularización, que se pueda obtener con un método de regularización bajo esos supuestos a-priori. Recíprocamente, dado un orden de convergencia, puede ser de interés determinar la posible existencia de “conjuntos fuente” sobre los cuales un método de regularización alcanza dicho orden de convergencia. Estos problemas est´an fuertemente relacionados con el concepto de calificación de un método de regularización espectral. En este trabajo, la definici´on de calificaci´on es extendida y se introducen tres niveles diferentes de este concepto: débil, fuerte y óptimo. Se muestra que la calificación débil extiende la definición introducida por Mathé y Pereverzev, principalmente en el sentido que las funciones asociadas a órdenes de convergencia y conjuntos fuente no necesariamente son las mismas. Se dar´an varios ejemplos que ilustran los niveles de calificación, las relaciones entre los mismos y con el concepto de calificación introducido en 2003 por P. Mathé y S. V. Pereverzev.