Órbitas de Hutchinson de pesos de Muckenhoupt

MARILINA CARENA; HUGO AIMAR; BIBIANA IAFFEI

Universidad Nacional de Córdoba (Córdoba)

Congreso; LVII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 2007

Dado un sistema iterado de funciones (SIF) Phi={phi_i: i=1,dots,M} contractivas (ver cite{Hut}), buscamos condiciones en Phi para que si la medida inicial es de la formadmu_0=w(x)dx con w un peso de la clase A_p de Muckenhoupt, entonces toda la órbita {T^{n}(mu_0):n in  N}engendrada por Phi esté contenida en A_p con constanteuniforme. Más precisamente, se dice que una función no negativa localmente integrable w definida en un compacto X de R^n es un peso de A_p con constante C si[int_B wdx) (int_B w^{-frac{1}{p-1}}dx)^{p-1}leq C |B|^p,] para todo x in X y r>0, donde B=B(x,r) cap X y |B| denota la medida de Lebesgue. Por otra parte, por T^n(mu_0) denotamos la n-ésima iteración del operador T inducido por el SIF actuando sobre la medida inicial mu_0, es decir[T(mu_0)(E)=frac{1}{M}sum_{i=1}^M mu_0 (phi_i^{-1}(E cap phi_i(X))).]Es sabido, (ver cite{Mosco}, cite{Yung}), que para los SIF que producen los fractales clásicos, la medida límite no sólo es duplicante sino que es además normal. Sin embargo, elcomportamiento de la órbita completa de las iteraciones de Hutchinson, aún para los fractales clásicos, ha sido menos estudiada. En algunos ejemplos concretos hemos probado que lapermanencia de la órbita dentro de una clase de medidas duplicantes es muy sensible a los aspectos físicos del SIF. En particular probamos que si X=[0,1],  phi_1(x)=x/2 y phi_2(x)=x/2+1/2, entonces aunque para cualquier mu_0 probabilística el espacio límite es [0,1] con la medida de Lebesgue, existen pesos w in A_p tal que T^n(wdx) emph nunca duplica, y por consiguiente nunca es un peso de A_p. Si en cambio tomamos en el mismo conjunto X el SIF dado por psi_1(x)=x/2 y psi_2(x)=1-x/2 la situación es completamente diferente. No sólo la órbita permanece dentro de las medidas duplicantes sino que empezando de cualquierpeso de A_p, la órbita permanece dentro de A_p con constante uniforme. Extendemos estos resultados a otras situaciones en dimensión mayor que uno.