Desigualdades de tipo Jerison-Kenig para la estimación de normas de Lebesgue de gradientes de temperaturas

IVANA GÓMEZ, HUGO AIMAR, BIBIANA IAFFEI

Córdoba, Argentina

Congreso; LVII Reunión de Comunicaciones Científicas de la Unión Matemática Argentina; 2007

Unión Matemática Argentina y FaMAF (Universidad Nacional de Córdoba)

A partir de la fórmula del valor medio para temperaturas: u(x,t)=iint_{R^{d+1}} K_{delta}(x-y,t-s) u(y,s),dy,ds, para delta>0 suficientemente pequeño, conK_{delta}(x,t)= frac{1}{delta^{d+2}}Kleft( frac{x}{delta}, frac{t}{delta^2} right)y K(x,t) =eta Bigl((4pi,t)^{ frac{1}{2}}, e^{frac{|x|^2}{4d t}}Bigr) frac{|x|^2}{t^2}, donde eta es una función no negativa, C^{infty} y de soporte compacto en (0,1),cite{AGI}, obtenemos desigualdades del tipobegin{equation} left|delta^{1-alpha} nabla u right|_{L^p(Omega)}leq left{int_{0}^{infty}left|u(cdot,t) ight|^p_{B^{alpha,p}_{p}(D)}dt right}^{frac{1}{p}}end{equation}Aquí, Omega=D times (0,infty) con D un dominio de Lipschitz acotado en R ^d, delta=delta(x,t) es la distancia parabólica de (x,t) a la frontera de Omega y B^{alpha,p}_p(D) es el espacio de Besov B^{alpha,q}_p(D) con 0<alpha<1 y 1<p=q<infty. El correspondiente resultado para el caso elíptico puede hallarse en cite{JeKe95} y en cite{DaDeV97}. La demostración de eqref{eq:main} esconsecuencia de una desigualdad puntual en términos de funciones maximales,begin{equation*}|delta(x,t)^{1-alpha} nabla u(x,t)| leq c,M^{-}M^{#}_{alpha}u(x,t)end{equation*}donde M^{-} es la maximal de Hardy--Littlewood lateral ``hacia el pasado´´ en la variable temporal  y  M^{#}_{alpha} es la maximal de A. P. Calderón y R. Scott. Desigualdades similares se obtienen para derivadas espaciales de orden superior a uno admitiendo alpha>1.