Completitud de la propiedad de duplicación en la métrica de Hausdorff-Kantorovich

AIMAR, HUGO; CARENA, MARILINA; IAFFEI, BIBIANA

Bahía Blanca

Congreso; LVI Reunión Anual de comunicaciones científicas de la UMA; 2006

Unión Matemática Argentina

Sea $(X, ho)$ un espacio métrico compacto. Sea $mathcal{K}$ el conjunto formado por todos los sub-conjuntos compactos no vacíos de $X$ equipado con la distancia de Hausdorff $d_H$. Sobre el conjunto $mathcal{M}(X)$ el conjunto de todas las medidas regulares de Borel sobre $(X, ho)$ definimos $d_Kleft(mu, u ight)=supleft{left|int_X f;dmu-int_X f;d u ight|: fin lip ight}$. La $d_K$-convergencia es equivalente a la convergencia débil $ast$ al mismo límite. Consideramos ciertos subcon-juntos del espacio $mathscr{X}= mathcal{K} imes mathcal{M}$. Dados dos elementos $(Y_i,mu_i)$ de $mathscr{X}$, $i=1,2$, definiendo la distancia  $deltaleft((Y_1,mu_1),(Y_2,mu_2) ight)=d_H(Y_1,Y_2)+d_K(mu_1,mu_2)$, se tiene que  $(mathscr{X},delta)$ es un espacio métrico completo. Sean $mathcal{E}$ el conjunto de todos $(Y,mu)inmathscr{X}$ tal que $sop(mu)subseteq Y$, y sea $mathcal{P}$ el conjunto de los  $(Y,mu)$ en $mathcal{E}$ tales que $mu(Y)=1$. Probamos que $mathcal E$ y $mathcal P$ son subespacios métricos completos de $(mathscr X,delta)$. Introducimos la propiedad de duplicación de una medida de varias formas. En lo que sigue $Ageq 1$, $alpha>1$ y $(Y,mu)inmathcal P$ están dados. Decimos que $(Y,mu)inmathcal D_A^alpha$ si $0<mu(B(y,alpha r))leq A mu(B(y,r))$ para todo $yin Y$ y $r>0$. Diremos que $(Y,mu)inmathcal{S}_arphimathcal{D}_A^alpha$ si para todo $yin Y$ y $r>0$ tenemos que {small $0<int arphi_{y,alpha r}(x);dmu(x)leq Aint arphi_{y,r}(x);dmu(x)$,} donde $arphi_{y,s}(z)=arphileft(rac{ ho(y,z)}{s} ight)$ para $s>0$, y $arphi$ es una función continua fija no negativa definida sobre $mathbb{R}^{+}_0$ con soporte compacto y tal que $arphi(0)>0$. El par  $(Y,mu)in mathcal{BD}_A^alpha$ si $0<mu(B(y,alpha r))leq A mu(B(y,r+epsilon))$ para todo $yin Y$, $r>0$ $epsilon>0$. Finalmente $(Y,mu)inmathcal{ND}_A^alpha$ si para todo $y_1,y_2in Y$ y $r>0$ con $ ho(y_1,y_2)<alpha r$, tenemos que $0<mu(B(y_1,r))leq Amu(B(y_2,r+epsilon))$ para todo $epsilon>0$. El principal resultado que nos permite construir espacios de tipo homogéneo como límite de iteraciones, es el siguiente. Teorema: Los espacios  $mathcal{S_arphi D}^{alpha}_A$, $mathcal{BD}^{alpha}_A$,  y $mathcal{ND}_A^{alpha}$  son cerrados en $(mathscr{X},delta)$, y en consecuencia toda contracción sobre ellos tiene un único punto fijo.