A posteriori error estimates for elliptic problems with point sources in weighted spaces

EDUARDO M. GARAU

Santa Fe

Seminario; Seminario del IMAL "Carlos Segovia Fernandez"; 2013

IMAL

Al modelar diferentes aplicaciones, como el campo eléctrico generado por una carga puntual o el transporte y degradación de un contaminante en un río, donde debido a las diferentes escalas involucradas la fuente contaminante se modela con soporte puntual, surge la necesidad de estudiar problemas elípticos con fuentes de tipo delta de Dirac. Se sabe que la solución de este tipo de problemas en general no pertenece al clásico espacio de Sobolev W^{1,2}(Omega). A pesar de esto, dicha solución puede ser aproximada numéricamente por métodos de elementos finitos estándar. Lo que no resulta obvio es la elección de una norma adecuada para medir el error. En esta charla presentaremos estimadores de error a posteriori de tipo residual para esta clase de problemas en espacios de Sobolev con pesos sobre dominios 2d y 3d. El error será medido en el espacio W^{1,2}(Omega,w), donde el peso w es una potencia de la distancia al soporte de la delta de Dirac y las potencias admisibles podrán elegirse en un intervalo que depende de la dimensión del dominio subyacente. Este espacio es "más grande" que W^{1,2}(Omega) y parece ser más conveniente que otros espacios propuestos (por ejemplo, W^{1,p}(Omega) para p < 2 en 2d), ya que el peso w debilita la clásica norma W^{1,2}(Omega) sólo alrededor de la singularidad. Los estimadores de error introducidos en esta charla son confiables y eficientes para medir el error en el espacio de Sobolev con peso mencionado y pueden usarse para calcular la solución del problema mediante un algoritmo adaptativo.