Regularización de Problemas Inversos por Penalización con Variación Acotada

CECILIA LARRÁN; RUBEN D. SPIES

San Miguel de Tucumán

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina, LXI Reunión de comunicaciones científicas; 2011

Unión Matemática Argentina, UNT

Durante los últimos 15 años, varios autores (ver por ejemplo [1], [2], [3]) han propuesto diversas generalizaciones del tradicional método de Tikhonov-Phillips, basados en la estrategia de inducir estabilidad a través de la utilización de diferentes penalizantes, dando lugar a una gran variedad de métodos con penalizantes no suaves. En 1994, Acar y Vogel ([1]) introdujeron el método de regularización por variación acotada, utilizando como penalizante la norma de variación acotada ||.||BV , y analizaron los problemas de existencia, unicidad y estabilidad de los minimizantes de funcionales del tipo Jalpha(u) = ||Tu - v|| + alpha||u||BV ; u in BV (­Omega); (1) donde T : Lp(­Omega) o Y es un operador lineal, acotado de rango no cerrado,­ Omegasubset Rd, Y es un espacio de Hilbert, 1 < p < infty y alpha > 0. En este trabajo presentaremos algunos resultados sobre existencia, unicidad, estabilidad y convergencia para el caso en que el penalizante ||u||BV en (1) es reemplazado por la seminorma de variación acotada, es decir por el funcional J0(u) =int_Omega || abla u|| dx y por una aproximación diferenciable de la misma. También mostraremos algunos ejemplos de aplicación a problemas restauración de imágenes. En este trabajo presentaremos algunos resultados sobre existencia, unicidad, estabilidad y convergencia para el caso en que el penalizante ||u||BV en (1) es reemplazado por la seminorma de variación acotada, es decir por el funcional J0(u) =int_Omega || abla u|| dx y por una aproximación diferenciable de la misma. También mostraremos algunos ejemplos de aplicación a problemas restauración de imágenes. BV , y analizaron los problemas de existencia, unicidad y estabilidad de los minimizantes de funcionales del tipo Jalpha(u) = ||Tu - v|| + alpha||u||BV ; u in BV (­Omega); (1) donde T : Lp(­Omega) o Y es un operador lineal, acotado de rango no cerrado,­ Omegasubset Rd, Y es un espacio de Hilbert, 1 < p < infty y alpha > 0. En este trabajo presentaremos algunos resultados sobre existencia, unicidad, estabilidad y convergencia para el caso en que el penalizante ||u||BV en (1) es reemplazado por la seminorma de variación acotada, es decir por el funcional J0(u) =int_Omega || abla u|| dx y por una aproximación diferenciable de la misma. También mostraremos algunos ejemplos de aplicación a problemas restauración de imágenes.u||BV en (1) es reemplazado por la seminorma de variación acotada, es decir por el funcional J0(u) =int_Omega || abla u|| dx y por una aproximación diferenciable de la misma. También mostraremos algunos ejemplos de aplicación a problemas restauración de imágenes. Referencias [1] R. Acar y C.R. Vogel Analysis of bounded variation penalty methods for ill-posed problems, Inverse Problems 10 (1994), pp. 1217-1229. [2] E. Casas, K. Kunisch y C. Pola, Regularization by functions of bounded variation and applications to image enhancement, Appl. Math. Optim. 40 (1999), pp. 229- 257. [3] A. Chambolle y P.L. Lions, Image recovery via total variation minimization and related problems, Numerische Mathematik, 76 (1997), pp. 167-188. [3] A. Chambolle y P.L. Lions, Image recovery via total variation minimization and related problems, Numerische Mathematik, 76 (1997), pp. 167-188. [2] E. Casas, K. Kunisch y C. Pola, Regularization by functions of bounded variation and applications to image enhancement, Appl. Math. Optim. 40 (1999), pp. 229- 257. [3] A. Chambolle y P.L. Lions, Image recovery via total variation minimization and related problems, Numerische Mathematik, 76 (1997), pp. 167-188. [3] A. Chambolle y P.L. Lions, Image recovery via total variation minimization and related problems, Numerische Mathematik, 76 (1997), pp. 167-188. Analysis of bounded variation penalty methods for ill-posed problems, Inverse Problems 10 (1994), pp. 1217-1229. [2] E. Casas, K. Kunisch y C. Pola, Regularization by functions of bounded variation and applications to image enhancement, Appl. Math. Optim. 40 (1999), pp. 229- 257. [3] A. Chambolle y P.L. Lions, Image recovery via total variation minimization and related problems, Numerische Mathematik, 76 (1997), pp. 167-188. [3] A. Chambolle y P.L. Lions, Image recovery via total variation minimization and related problems, Numerische Mathematik, 76 (1997), pp. 167-188. Regularization by functions of bounded variation and applications to image enhancement, Appl. Math. Optim. 40 (1999), pp. 229- 257. [3] A. Chambolle y P.L. Lions, Image recovery via total variation minimization and related problems, Numerische Mathematik, 76 (1997), pp. 167-188.Image recovery via total variation minimization and related problems, Numerische Mathematik, 76 (1997), pp. 167-188.