Equivalencia de bases de Haar asociadas a diferentes familias

AIMAR, HUGO; BERNARDIS, ANA; NOWAK LUIS

Congreso; Reunión Anual de la UMA; 2011

UMA

Abordamos el estudio de la equivalencia, en el sentido de equivalencia de bases de Schauder como es definido en [4] (o en [3]), de bases de tipo Haar construidas sobre diferentes familias di´adicas en espacios de tipo homog´eneo. En el caso eucl´ıdeo es f´acil construir simples perturbaciones de cubos di´adicos en Rn, como im´agenes de los intervalos di´adicos usuales a trav´es de funciones bi-Lipschitz. Precisamente, si FRn, como im´agenes de los intervalos di´adicos usuales a trav´es de funciones bi-Lipschitz. Precisamente, si FF es un mapeo bi-Lipschitz de Rn sobre Rn y si Qj ~kRn sobre Rn y si Qj ~k son los cubos di´adicos usuales, con 60 ~k = (k1, ..., kn) ∈ Zn y j ∈ Z, entonces la familia {F(Qj ~k= (k1, ..., kn) ∈ Zn y j ∈ Z, entonces la familia {F(Qj ~k ) : j ∈ Z,~k ∈ Zn} comparte ciertas propiedades geom´etricas con la familia de los cubos di´adicos usuales. Es de alguna manera natural esperar que en alg´un sentido un sistema de Haar en L2(Rn) soportado en la familia {F(Qj ~kj ∈ Z,~k ∈ Zn} comparte ciertas propiedades geom´etricas con la familia de los cubos di´adicos usuales. Es de alguna manera natural esperar que en alg´un sentido un sistema de Haar en L2(Rn) soportado en la familia {F(Qj ~kL2(Rn) soportado en la familia {F(Qj ~k{F(Qj ~k ) : j ∈ Z,~k ∈ Zn} sea equivalente al sistema de Haar soportado en la familia {Qj ~kj ∈ Z,~k ∈ Zn} sea equivalente al sistema de Haar soportado en la familia {Qj ~k{Qj ~k : j ∈ Z,~k ∈ Zn}. Un contexto muy general de sistemas de Haar definidos sobre diferentes familias di´adicas es proporcionado por la construcci´on de Christ dada en [2] y los sistemas de Haar definidos sobre ellos en el contexto de espacio de tipo homog´eneo. En efecto, el algoritmo de construcci´on de los cubos de Christ se basa en procesos de selecci´on de puntos sobre una familia fija de redes. Tal selecci´on, si bien est´a condicionada por la m´etrica subyacente en el espacio, no es ´unica y por lo tanto se pueden construir en general diferentes descomposiciones del espacio en cubos de Christ. Abordaremos en este trabajo el problema de buscar condiciones geom´etricas sobre dos familias di´adicas D1 y D2 tales que sistemas de tipo Haar H1 y H2 asociados a las familias D1 y D2 respectivamente sean equivalentes sobre los espacios de Lebesgue pesados Lp w(X, μ), 1 < p < ∞ cuando el peso w pertenece a la clase de pesos de Muckenhoupt Ap. Una herramienta central en este caso es una desigualdad de tipo Fefferman-Stein y otra es la caracterizaci´on de los espacios de Lebesgue pesados via coeficientes de Haar.j ∈ Z,~k ∈ Zn}. Un contexto muy general de sistemas de Haar definidos sobre diferentes familias di´adicas es proporcionado por la construcci´on de Christ dada en [2] y los sistemas de Haar definidos sobre ellos en el contexto de espacio de tipo homog´eneo. En efecto, el algoritmo de construcci´on de los cubos de Christ se basa en procesos de selecci´on de puntos sobre una familia fija de redes. Tal selecci´on, si bien est´a condicionada por la m´etrica subyacente en el espacio, no es ´unica y por lo tanto se pueden construir en general diferentes descomposiciones del espacio en cubos de Christ. Abordaremos en este trabajo el problema de buscar condiciones geom´etricas sobre dos familias di´adicas D1 y D2 tales que sistemas de tipo Haar H1 y H2 asociados a las familias D1 y D2 respectivamente sean equivalentes sobre los espacios de Lebesgue pesados Lp w(X, μ), 1 < p < ∞ cuando el peso w pertenece a la clase de pesos de Muckenhoupt Ap. Una herramienta central en este caso es una desigualdad de tipo Fefferman-Stein y otra es la caracterizaci´on de los espacios de Lebesgue pesados via coeficientes de Haar.D1 y D2 tales que sistemas de tipo Haar H1 y H2 asociados a las familias D1 y D2 respectivamente sean equivalentes sobre los espacios de Lebesgue pesados Lp w(X, μ), 1 < p < ∞ cuando el peso w pertenece a la clase de pesos de Muckenhoupt Ap. Una herramienta central en este caso es una desigualdad de tipo Fefferman-Stein y otra es la caracterizaci´on de los espacios de Lebesgue pesados via coeficientes de Haar.D1 y D2 respectivamente sean equivalentes sobre los espacios de Lebesgue pesados Lp w(X, μ), 1 < p < ∞ cuando el peso w pertenece a la clase de pesos de Muckenhoupt Ap. Una herramienta central en este caso es una desigualdad de tipo Fefferman-Stein y otra es la caracterizaci´on de los espacios de Lebesgue pesados via coeficientes de Haar.Lp w(X, μ), 1 < p < ∞ cuando el peso w pertenece a la clase de pesos de Muckenhoupt Ap. Una herramienta central en este caso es una desigualdad de tipo Fefferman-Stein y otra es la caracterizaci´on de los espacios de Lebesgue pesados via coeficientes de Haar.(X, μ), 1 < p < ∞ cuando el peso w pertenece a la clase de pesos de Muckenhoupt Ap. Una herramienta central en este caso es una desigualdad de tipo Fefferman-Stein y otra es la caracterizaci´on de los espacios de Lebesgue pesados via coeficientes de Haar.Ap. Una herramienta central en este caso es una desigualdad de tipo Fefferman-Stein y otra es la caracterizaci´on de los espacios de Lebesgue pesados via coeficientes de Haar. Referencias [1] H. Aimar, A. Bernardis and L. Nowak, Equivalence of Haar bases associated to different dyadic systems, En prensa en Journal of Geometric Analysis. [2] M. Christ, A T(b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cau- chy integral, Colloq. Math. 60/61 (2) (1990), 601–628. [3] S. Konyagin and V. Temlyakov, A remark on greedy approximation in Ba- nach spaces., East Journal on Approx., 5(3)(1999), 365–379. [4] R. Young, An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press. 1980.Equivalence of Haar bases associated to different dyadic systems, En prensa en Journal of Geometric Analysis. [2] M. Christ, A T(b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cau- chy integral, Colloq. Math. 60/61 (2) (1990), 601–628. [3] S. Konyagin and V. Temlyakov, A remark on greedy approximation in Ba- nach spaces., East Journal on Approx., 5(3)(1999), 365–379. [4] R. Young, An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press. 1980., En prensa en Journal of Geometric Analysis. [2] M. Christ, A T(b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cau- chy integral, Colloq. Math. 60/61 (2) (1990), 601–628. [3] S. Konyagin and V. Temlyakov, A remark on greedy approximation in Ba- nach spaces., East Journal on Approx., 5(3)(1999), 365–379. [4] R. Young, An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press. 1980.A T(b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cau- chy integral, Colloq. Math. 60/61 (2) (1990), 601–628. [3] S. Konyagin and V. Temlyakov, A remark on greedy approximation in Ba- nach spaces., East Journal on Approx., 5(3)(1999), 365–379. [4] R. Young, An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press. 1980., Colloq. Math. 60/61 (2) (1990), 601–628. [3] S. Konyagin and V. Temlyakov, A remark on greedy approximation in Ba- nach spaces., East Journal on Approx., 5(3)(1999), 365–379. [4] R. Young, An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press. 1980.A remark on greedy approximation in Ba- nach spaces., East Journal on Approx., 5(3)(1999), 365–379. [4] R. Young, An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press. 1980., East Journal on Approx., 5(3)(1999), 365–379. [4] R. Young, An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press. 1980.An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press. 1980.