Regresión no paramétrica para datos funcionales: consistencia bajo las condiciones de Stone-Besicovitch

FORZANI, LILIANA; FRAIMAN, RICARDO; LLOP, PAMELA

Madrid

Seminario; Seminario del Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma de Madrid; 2012

Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma de Madrid

Stone, en 1977 enuncia el resultado más general de consistencia de estimadores no paramétricos de la función de regresión en el contexto finito dimensional. En el, Stone da condiciones suficientes y necesarias para la consistencia en media cuadrática de dichos estimadores y aplica sus resultados para demostrar la consistencia del estimador de k-vecinos más cercanos y plantea la cuestión de si el estimador de núcleo se comporta de manera similar. Las suposiciones mínimas que él impone, evitan la carga de condiciones de regularidad impuestas, hasta ese momento, para la mayoría de resultados asintóticos. En el contexto funcional, al igual que en el finito dimensional, muchos resultados de consistencia son dados imponiendo condiciones de regularidad las cuales, en algunos casos, no so fáciles de entender. También, la mayoría de los resultados son dados para estimadores específicos (k-NN y núcleo) y en general, sólo para problemas de clasificación. En este trabajo nos concentramos en dar un resultado de consistencia general bajo suposiciones que sean fáciles de entender, evitando aquellas que sean difíciles de justificar. Comenzamos extendiendo el Teorema de Stone al caso de espacios métricos localmente compactos pero, dado que la mayoría de espacios de funciones infinito dimensionales no son localmente compactos, debilitamos la hipótesis sobre el espacio pidiéndole a la función de regresión que sea, en algún sentido, regular. Luego derivamos la consistencia de los estimadores k-NN y de núcleo si además la condición de Besicovitch ser verifica y la función de regresión es acotada. ésta, es una condición de diferenciación que combina propiedades de la función de regresión y la distribución subyacente en los datos. En dimensión finita, se cumple automáticamente ya que no es más que el Teorema de Diferenciación con respecto a una medida finita y, aunque el resultado no es cierto en espacios infinito dimensionales, si la función de regresión es continua, se cumple en un contexto general.