Teoría espectral del operador de Atiyah-Patodi-Singer en variedades compactas planas

RICARDO A. PODESTÁ

Tandil

Congreso; LX Reunión Anual de la UMA; 2010

Universidad Nacional del Centro

Consideramos el operador diferencial de tipo-Dirac D denido y estudiadopor Atiyah, Patodi y Singer en [1]. Éste es el operador de borde asociado al operador de signatura actuando en 2p-formas suaves, p=0,..,2k−1, de una variedad Riemanniana orientable y compacta M de dimensión n = 4k − 1. D tiene asociada la serie eta eta(s) de sus autovalores no nulos. La función holomorfa denida por la serie tiene continuación meromorfa a todo C con polos simples en {n, n−1, n−2, . . .}. Es un hecho no trivial que el residuo en s = 0 se anula y por lo tanto 0 es un valor regular. El número eta := eta(0) es un invariante espectral y geométrico, llamado invariante eta.En [2], usando el teorema del G-índice, Harold Donnelly obtiene, de manera indirecta, una expresión general para el invariante eta asociado a D para G-variedades con borde, donde G es un grupo de isometrías del borde, en términos de ciertas clases características. Esta es una familia muy grande de variedades. Sin embargo, en el caso particular de variedades planas, la fórmulade Donelly puede aplicarse en ciertos casos particulares muy especícos y que representan una familia pequeña dentro de las variedades planas. En [3], calculamos el espectro de D para una variedad compacta plana arbitraria M, dando una expresión para las multiplicidades de los autovalores. De esta manera, usando métodos explícitos, obtenemos expresiones para eta(s) asociada a M en términos de funciones zeta de Hurwitz. A su vez, esto permite calcular eta por simple evaluación en s = 0. Para ciertas familias de variedades compactas planas (i.e. dimensión 3, Zk2-variedades, Zp-variedades con p primo impar), eta puede ser explícitamente calculado.En particular, mostraremos que nuestra fórmula coincide con la obtenida por Donnelly (en los casos en que esta última se aplica).Referencias[1] M. F. Atiyah, V. K. Patodi, I. M. Singer, Spectral asymmetry and Riemannian geometry I, II, III, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77, (43-69) 1975; 78 (405-432) 1975; 79, (71-99) 1976.[2] H. Donnelly, Eta invariants for G-spaces. Indiana Univ. Math. J. 27, 6, (889-918) 1978.[3] R. J. Miatello, R. A. Podestá, Spectral theory of the Atiyah-Patodi-Singer operator on compact at manifolds, 22 páginas, preprint.